2023-2024學(xué)年湖南省衡陽八中高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分）

• 1．若z（1-i）²=2+2i,則

  z

  =（　　）

  A．1+i

  B．1-i

  C．-1+i

  D．-1-i
  組卷：16引用：2難度：0.8

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• 2．設(shè)a∈R，則“a＞1”是“a²＞1”的（　?。?/h2>

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：555引用：19難度：0.8

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• 3．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  lo g 2 （ 2 - x ） ， x ＜ 0

  2 x - k , x ≥ 0

  ，若f（f（-2））=3，則k=（　　）

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．2
  組卷：56引用：7難度：0.7

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• 4．已知sin（-68°）=m,則cos11°=（　?。?/h2>

  A． 1 + m 2

  B． 1 - m 2

  C． 1 + m 2

  D． 1 - m 2
  組卷：121引用：4難度：0.7

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• 5．若雙曲線

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的一條漸近線被圓x²+y²-4y+2=0所截得的弦長為2，則雙曲線C的離心率為（　?。?/h2>

  A． 3

  B． 2 3 3

  C．2

  D． 2
  組卷：336引用：10難度：0.6

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• 6．八卦是中國古老文化的深奧概念，下圖示意太極八卦圖．現(xiàn)將一副八卦簡化為正八邊形ABCDEFGH，設(shè)其邊長為a,中心為O，則下列選項(xiàng)中不正確的是（　　）
  

  A． AB ? AC = AB ? AD	B． OA ? OB + OC ? OF = 0
  C． EG 和 HD 是一對相反向量	D． | AB - BC + CD + EF - FG | = a
  組卷：254引用：8難度：0.7

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• 7．黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其定義為：x∈[0，1]時(shí)，

  R

  （

  x

  ）

  =

  1 q ， x = p q （ p , q ∈ N + ， p q 為既約真分?jǐn)?shù) ）

  0 ， x = 0 ， 1 和 （ 0 ， 1 ） 內(nèi)的無理數(shù)

  ．若數(shù)列

  a

  n

  =

  R

  （

  n

  -

  1

  n

  ）

  ，

  n

  ∈

  N

  +

  ，則下列結(jié)論：①R（x）的函數(shù)圖像關(guān)于直線

  x

  =

  1

  2

  對稱；
  ②

  a

  n

  =

  1

  n

  ；
  ③a_n+1＜a_n；
  ④

  n

  ∑

  i

  =

  1

  a

  i

  ≥

  ln

  n

  +

  1

  2

  ；
  ⑤

  n

  ∑

  i

  =

  1

  a

  i

  a

  i

  +

  1

  ＜

  1

  2

  ．
  其中正確的是（　?。?/h2>

  A．①②③

  B．②④⑤

  C．①③④

  D．①④⑤
  組卷：64引用：3難度：0.5

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四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分）

• 21．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）左焦點(diǎn)為F，離心率為

  1

  2

  ，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑作圓使之與直線x-y+

  2

  =0相切．
  （1）求C的方程；
  （2）設(shè)點(diǎn)P（4，0），A，B是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，PB交C于另一點(diǎn)E，求△AEF的內(nèi)切圓半徑的范圍．
  組卷：193引用：5難度：0.6

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• 22．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0），且6a+b=0，f（1）=4a.
  （1）討論f（x）的單調(diào)性；
  （2）若x∈[0，3]，函數(shù)F（x）=f（x）-xe^-x有三個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，試比較x₁+x₂+x₃與2的大小，并說明理由．
  組卷：33引用：6難度：0.3

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