2010年新課標七年級數(shù)學競賽培訓第18講：乘法公式

一、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

• 1．（1）已知兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差為2000，則這兩個連續(xù)奇數(shù)可以是

  ．
  （2）已知（2000-a）（1998-a）=1999，那么（2000-a）²+（1998-a）²=

  ．
  組卷：335引用：1難度：0.9

  解析
• 2．觀察下列各式：
  （x-1）（x+1）=x²-1
  （x-1）（x²+x+1）=x³-1
  （x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，
  根據(jù)前面各式的規(guī)律可得（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=

  （其中n為正整數(shù)）．
  組卷：2374引用：76難度：0.9

  解析
• 3．已知a²+b²+4a-2b+5=0，則

  a

  +

  b

  a

  -

  b

  =

  ．
  組卷：224引用：20難度：0.5

  解析
• 4．計算：
  （1）1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655=

  ；
  （2）1949²-1950²+1951²-1952²+…+1997²-1998²+1999²=

  ；
  組卷：165引用：1難度：0.9

  解析
• 5．如圖是四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中的空白部分面積的不同表示方法，寫出一個關(guān)于a,b的恒等式

  ．
  組卷：1003引用：16難度：0.5

  解析
• 6．已知：a+

  1

  a

  =5，則

  a

  4

  +

  a

  2

  +

  1

  a

  2

  =

  ．
  組卷：1327引用：11難度：0.7

  解析
• 7．你能很快算出1995²嗎？
  為了解決這個問題，我們考查個位上的數(shù)字為5的自然數(shù)的平方，任意一個個位數(shù)為5的自然數(shù)可寫成10n+5（n為自然數(shù)），即求（10n+5）²的值，試分析n=1，n=2，n=3…這些簡單情形，從中探索其規(guī)律，并歸納猜想出結(jié)論．
  （1）通過計算，探索規(guī)律．
  15²=225可寫成100×1×（1+1）+25；25²=625可寫成100×2×（2+1）+25；35²=1225可寫成100×3×（3+1）+25；45²=2025可寫成100×4×（4+1）+25；…75²=5625可寫成

  ；85²=7225可寫成

  ．
  （2）從第（1）題的結(jié)果，歸納、猜想得（10n+5）²=

  ．
  （3）根據(jù)上面的歸納猜想，請算出1995²=

  ．
  組卷：201引用：1難度：0.5

  解析
• 8．已知x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z=

  ．
  組卷：2215引用：9難度：0.7

  解析
• 9．（1）若x+y=10，x³+y³=100，則x²+y²=

  ．
  （2）若a-b=3，則a³-b³-9ab=

  ．
  組卷：364引用：1難度：0.5

  解析
• 10．1，2，3，…，98共98個自然數(shù)中，能夠表示成兩整數(shù)的平方差的個數(shù)是

  ．
  組卷：361引用：5難度：0.7

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三、解答題（共10小題，滿分82分）

• 29．若x+y=a+b,且x²+y²=a²+b²，求證：x¹⁹⁹⁷+y¹⁹⁹⁷=a¹⁹⁹⁷+b¹⁹⁹⁷．
  組卷：753引用：2難度：0.1

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• 30．（1）請觀察：25=5²，1225=35²，112225=335²，11122225=3335²…寫出表示一般規(guī)律的等式，并加以證明．
  （2）26=5²+1²，53=7²+2²，26×53=1378，1378=37²+3²．任意挑選另外兩個類似26、53的數(shù)，使它們能表示成兩個平方數(shù)的和，把這兩個數(shù)相乘，乘積仍然是兩個平方數(shù)的和嗎？你能說出其中的道理嗎？
  注：有人稱這樣的數(shù)“不變心的數(shù)”．數(shù)學中有許多美妙的數(shù)，通過分析，可發(fā)現(xiàn)其中的奧秘．
  瑞士數(shù)學家歐拉曾對26（2）的性質(zhì)作了更進一步的推廣．他指出：可以表示為四個平方數(shù)之和的甲、乙兩數(shù)相乘，其乘積仍然可以表示為四個平方數(shù)之和．即（a²+b²+c²十d²）（e²+f²+g²+h²）=A²+B²+C²+D²．這就是著名的歐拉恒等式．
  組卷：987引用：1難度：0.1

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