2023-2024學(xué)年河南省商丘市寧陵高級(jí)中學(xué)高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一、單選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。

• 1．若

  a

  =

  （

  -

  1

  ，

  x

  +

  1

  ，

  x

  ）

  ，

  b

  =

  （

  2

  -

  x

  ,

  0

  ，

  3

  ）

  ，且

  a

  與

  b

  的夾角為鈍角，則x的取值范圍是（　　）

  A． （ - ∞ ， 1 2 ）	B． （ 1 2 ， + ∞ ）
  C． （ - ∞ ，- 1 ） ∪ （ - 1 ， 1 2 ）	D． （ 1 2 ， 3 ） ∪ （ 3 ， + ∞ ）
  組卷：593引用：6難度：0.7

  解析
• 2．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

  AB

  =

  a

  ，

  AC

  =

  b

  ，

  A

  A

  1

  =

  c

  ，若點(diǎn)D為B₁C₁的中點(diǎn)，則

  CD

  =（　　）

  A． 1 2 a - 1 2 b + c

  B． 1 2 a + 1 2 b + c

  C． 1 2 a + 1 2 b - c

  D． a + 1 2 b - 1 2 c
  組卷：320引用：5難度：0.7

  解析
• 3．已知a,b是異面直線(xiàn)，A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2，CD=1，則a與b所成的角是（　?。?/div>

  A．30°

  B．45°

  C．60°

  D．90°
  組卷：369引用：14難度：0.7

  解析
• 4．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等邊三角形，AA₁=AB，D，E，F(xiàn)分別是棱AA₁，BB₁，BC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)DF與C₁E所成角的余弦值是（　　）

  A． 5 3

  B． 5 5

  C． 5 10

  D． 15 5
  組卷：227引用：4難度：0.6

  解析
• 5．在三棱錐P-ABC中，M是平面ABC上一點(diǎn)，且5

  PM

  =t

  PA

  +2

  PB

  +3

  MC

  ，則t=（　?。?/div>

  A．1

  B．2

  C．3

  D．-2
  組卷：443引用：5難度：0.6

  解析
• 6．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，

  AB

  =

  a

  ，

  AD

  =

  b

  ，

  A

  A

  1

  =

  c

  ，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，

  |

  a

  |

  =

  |

  b

  |

  =

  |

  c

  |

  =

  1

  ，則用

  {

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }

  表示

  A

  C

  1

  及線(xiàn)段

  |

  A

  C

  1

  |

  的長(zhǎng)為分別為（　?。?/div>

  A． A C 1 = a + b + c ， | A C 1 | = 5	B． A C 1 = a + b - c ， | A C 1 | = 3
  C． A C 1 = a + b + c ， | A C 1 | = 5	D． A C 1 = a + b - c ， | A C 1 | = 3
  組卷：419引用：3難度：0.5

  解析
• 7．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是四邊形A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，O為四邊形ABCD的中心，則

  OP

  ?

  DP

  的最大值為（　?。?/div>

  A．5

  B．6

  C． 5 + 2

  D． 5 + 3
  組卷：640引用：4難度：0.5

  解析

四．解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

• 21．如圖，在三棱臺(tái)ABC-A₁B₁C₁中，若A₁A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，A₁C₁=1，N為AB中點(diǎn)，M為棱BC上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．
  （1）若M為BC的中點(diǎn)，求證：A₁N∥平面C₁MA；
  （2）是否存在點(diǎn)M，使得平面C₁MA與平面ACC₁A₁所成角的余弦值為

  6

  6

  ？若存在，求出BM長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：461引用：9難度：0.5

  解析
• 22．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
  （1）求證：AC⊥BC₁；
  （2）在AB上是否存在點(diǎn)D，使得AC₁∥平面CDB₁，若存在，確定D點(diǎn)位置并說(shuō)明理由，若不存在，說(shuō)明理由．
  組卷：1427引用：11難度：0.5

  解析