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2022-2023學(xué)年上海市金山中學(xué)、閔行中學(xué)、嘉定一中三校高二（下）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（5月份）

發(fā)布：2024/7/15 8:0:9

一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）

1．若集合A={0，m}，B={1，2}，A∩B={1}，則實(shí)數(shù)m=
．
組卷：24引用：3難度：0.9
解析
2．已知向量
a
=
（
1
，
x
）
，
b
=
（
4
，
2
）
，若
a
∥
b
，則實(shí)數(shù)x的值為
．
組卷：18引用：2難度：0.7
解析
3．函數(shù)y=（sinx+cosx）²的最小正周期是
．
組卷：555引用：17難度：0.9
解析
4．已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=4i（i為虛數(shù)單位），則z=
．
組卷：20引用：4難度：0.9
解析
5．已知某圓錐的高為4，底面積為9π，則該圓錐的側(cè)面積為
．
組卷：63引用：4難度：0.7
解析
6．計(jì)算：
+
∞
∑
i
=
1
1
3
i
=
．
組卷：9引用：2難度：0.9
解析
7．已知函數(shù)
f
（
x
）
=
1
x
，則
lim
Δ
x
→
0
f
（
2
+
Δ
x
）
-
f
（
2
）
Δ
x
=
．
組卷：97引用：6難度：0.8
解析

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三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）

20．把右半個(gè)橢圓
C
1
：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（
x
≥
0
）
和圓弧
C
2
：
（
x
-
1
）
2
+
y
2
=
4
（
x
＜
0
）
合成的封閉曲線Γ稱為“曲圓”，“曲圓”與x軸的左、右交點(diǎn)依次記為A₁、A₂，與y軸的上、下交點(diǎn)依次記為B₁、B₂，過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線l與“曲圓”交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q與B₂重合時(shí)，求△A₁PQ的周長(zhǎng)；
（2）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)都在半橢圓C₁時(shí)，是否存在以PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)A₁？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求△A₁PQ的面積的最大值．
組卷：69引用：2難度：0.3
解析
21．已知曲線y=f（x），x∈D在點(diǎn)A（x₀，f（x₀））處的切線為l₀，若曲線y=f（x）上存在異于A的點(diǎn)P（x₁，f（x₁）），使曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線l₁與l₀重合，則稱P為曲線y=f（x）關(guān)于A的“公切點(diǎn)”；若曲線y=f（x）上存在Q（x₂，f（x₂）），使曲線y=f（x）在Q處的切線l₂與l₀垂直，則稱Q為曲線y=f（x）關(guān)于A的“正交點(diǎn)”．
（1）求曲線
f
（
x
）
=
1
2
x
2
關(guān)于A（2，2）的“正交點(diǎn)”；
（2）若
f
（
x
）
=
-
1
8
sin
2
x
-
cosx
-
1
4
x
，x∈[0，2π]，已知曲線y=f（x）上存在關(guān)于A（x₀，f（x₀））的“正交點(diǎn)”，求x₀的取值集合；
（3）已知
f
（
x
）
=
lnx
,
x
＞
0
e
x
+
a
,
x
＜
0
，若對(duì)任意x₀∈（1，e），曲線y=f（x）上都存在關(guān)于A（x₀，f（x₀））的“正交點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
組卷：13引用：2難度：0.3
解析