人教五四版九年級(jí)（上）中考題單元試卷：第31章 二次函數(shù)（21）

一、選擇題（共1小題）

• 1．如圖，已知拋物線y₁=-x²+1，直線y₂=-x+1，當(dāng)x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y₁，y₂．若y₁≠y₂，取y₁，y₂中的較小值記為M；若y₁=y₂，記M=y₁=y₂．例如：當(dāng)x=2時(shí)，y₁=-3，y₂=-1，y₁＜y₂，此時(shí)M=-3．下列判斷中：
  ①當(dāng)x＜0時(shí)，M=y₁；
  ②當(dāng)x＞0時(shí)，M隨x的增大而增大；
  ③使得M大于1的x值不存在；
  ④使得M=

  1

  2

  的值是-

  2

  2

  或

  1

  2

  ，
  其中正確的個(gè)數(shù)有（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：2468引用：52難度：0.3

  解析

二、填空題（共1小題）

• 2．如圖，平行于x軸的直線AC分別交函數(shù)y₁=x²（x≥0）與y₂=

  x

  2

  3

  （x≥0）的圖象于B、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作y軸的平行線交y₁的圖象于點(diǎn)D，直線DE∥AC，交y₂的圖象于點(diǎn)E，則

  DE

  AB

  =

  ．
  組卷：5938引用：85難度：0.5

  解析

三、解答題（共28小題）

• 3．如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-1，0），B（3，0），與y軸交于C（0，3），頂點(diǎn)為D（1，4），對(duì)稱軸為DE．
  （1）拋物線的解析式是

   

  ；
  （2）如圖（2），點(diǎn)P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P′是P關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)，連接PE，過P′作P′F∥PE交x軸于F．設(shè)S_{四邊形EPP′F}=y,EF=x,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；
  （3）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△BCQ成為以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出Q的坐標(biāo)；若不存在．請(qǐng)說明理由．
  
  組卷：1158引用：52難度：0.5

  解析
• 4．如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為M（-2，-4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A（-6，0），與y軸交于點(diǎn)C．
  （1）求拋物線的函數(shù)解析式；
  （2）求△ABC的面積；
  （3）能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點(diǎn)P，使△APC的面積最大？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．
  組卷：2519引用：68難度：0.5

  解析
• 5．如圖，2×2網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）中，有A，O，B，C，D，E，F(xiàn)，H，G九個(gè)格點(diǎn)．拋物線l的解析式為y=

  1

  2

  x²+bx+c.
  （1）若l經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）和B（1，0），則b=

  ，c=

  ；它還經(jīng)過的另一格點(diǎn)的坐標(biāo)為

  ．
  （2）若l經(jīng)過點(diǎn)H（-1，1）和G（0，1），求它的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；通過計(jì)算說明點(diǎn)D（1，2）是否在l上．
  （3）若l經(jīng)過這九個(gè)格點(diǎn)中的三個(gè)，直接寫出所有滿足這樣的拋物線的條數(shù)．
  組卷：328引用：51難度：0.5

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• 6．如圖，拋物線y=ax²+bx+2與直線l交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)為拋物線與y軸的交點(diǎn)，B（-2，-4），拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2，過點(diǎn)A作AC⊥AB，交拋物線于點(diǎn)C、x軸于點(diǎn)D．
  （1）求此拋物線的解析式；
  （2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
  （3）拋物線上是否存在點(diǎn)K，使得以AC為邊的平行四邊形ACKL的面積等于△ABC的面積？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)K的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．[提示：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=-

  b

  2

  a

  ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

  b

  2

  a

  ，

  4

  ac

  -

  b

  2

  4

  a

  ）]．
  組卷：630引用：50難度：0.5

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• 7．如圖，在△ABC中，AB=AC，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，

  3

  ），點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，拋物線y=-

  3

  3

  x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C
  （1）求b,c的值；
  （2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△ACQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由
  （3）點(diǎn)P是線段AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，探究：當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，四邊形MEBC是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形AECM的形狀，并說明理由．
  組卷：551引用：52難度：0.1

  解析
• 8．如圖，已知直線y=-x與二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象交于點(diǎn)A、O，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=3

  2

  ，點(diǎn)P為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)B是AP的中點(diǎn)．
  （1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和二次函數(shù)的解析式；
  （2）求線段OB的長(zhǎng)；
  （3）射線OB上是否存在點(diǎn)M，使得△AOM與△AOP相似？若存在，請(qǐng)求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：446引用：50難度：0.5

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• 9．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過點(diǎn)D（2，4），且與x軸交于A（3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，CD，BC
  （1）直接寫出該拋物線的解析式
  （2）點(diǎn)P是所求拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l,l分別交x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)M．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
  ①當(dāng)0≤m≤2時(shí)，過點(diǎn)M作MG∥BC，MG交x軸于點(diǎn)G，連接GC，則m為何值時(shí)，△GMC的面積取得最大值，并求出這個(gè)最大值
  ②當(dāng)-1≤m≤2時(shí)，試探求：是否存在實(shí)數(shù)m,使得以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似？若存在，求出相應(yīng)的m值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：518引用：50難度：0.5

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• 10．拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線交拋物線于點(diǎn)C（2，m），交y軸于點(diǎn)D．
  （1）求拋物線及直線AC的解析式；
  （2）點(diǎn)P是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；
  （3）點(diǎn)M（m,-3）是拋物線上一點(diǎn)，問在直線AC上是否存在點(diǎn)F，使△CMF是等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：561引用：51難度：0.5

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三、解答題（共28小題）

• 29．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為B（2，1），且過點(diǎn)A（0，2），直線y=x與拋物線交于點(diǎn)D，E（點(diǎn)E在對(duì)稱軸的右側(cè)），拋物線的對(duì)稱軸交直線y=x于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)G，EF⊥x軸，垂足為F，點(diǎn)P在拋物線上，且位于對(duì)稱軸的右側(cè)，PQ⊥x軸，垂足為點(diǎn)Q，△PCQ為等邊三角形
  
  （1）求該拋物線的解析式；
  （2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
  （3）求證：CE=EF；
  （4）連接PE，在x軸上點(diǎn)Q的右側(cè)是否存在一點(diǎn)M，使△CQM與△CPE全等？若存在，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．[注：3+2

  2

  =（

  2

  +1）²]．
  組卷：1861引用：51難度：0.1

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• 30．如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（

  1

  2

  ，

  5

  2

  ）和B（4，m），點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PC的長(zhǎng)有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
  （3）求△PAC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
  組卷：29441引用：98難度：0.1

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