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當前位置： 2022-2023學年湖南省株洲市荷塘區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷> 試題詳情

北師大版初中數(shù)學教科書七年級下冊第23頁告訴我們，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，可以得到一個數(shù)學等式．例如由圖①可以得到（a+b）²=a²+2ab+b²，這樣就用圖形面積驗證了完全平方公式．
請解答下列問題：
（1）類似地，寫出圖②中所表示的數(shù)學等式

（a+b）²=4ab+（a-b）²

；
（2）如圖③的圖案被稱為“趙爽弦圖”，是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，它表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學的鉆研精神和聰明才智，是我國古代數(shù)學的驕傲．這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會的會徽．此圖由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形．已知直角三角形的兩直角邊分別為a,b,若a+b=5，（a-b）²=13，求大正方形的面積；
（3）如圖④，在邊長為m（m＞2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時，求正方形MNPQ的面積．
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【考點】勾股定理的證明；數(shù)學常識．

【答案】（a+b）²=4ab+（a-b）²

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/7/2 8:0:9組卷：280引用：4難度：0.6

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1．如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的長直角邊為8，短直角邊為5，圖2中的陰影部分的面積為S，那么S的值為（　?。?/div>
A．39 B．48 C．56 D．75
發(fā)布：2024/10/1 5:0:1組卷：67引用：1難度：0.6
解析
2．漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶，如圖所示的弦圖中，其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四個直角三角形，當EF=7，DE=12時，則正方形ABCD的邊長是（　?。?/div>
A．13 B．28 C．48 D．52
發(fā)布：2024/10/4 5:0:1組卷：124引用：2難度：0.7
解析
3．著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a,較小的直角邊長都為b,斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c²，也可以表示為
4
×
1
2
ab
+
（
a
-
b
）
2
，由此推導出直角三角形的三邊關(guān)系：如果直角三角形兩條直角邊長為a,b,斜邊長為c,則a²+b²=c²．

（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導上面的關(guān)系式．利用以上所得的直角三角形的三邊關(guān)系進行解答：
（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB=AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH=6千米，HB=4.5千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）問中若AB≠AC時，CH⊥AB，AC=8，BC=10，AB=12，設(shè)AH=x,求x的值．
發(fā)布：2024/10/8 2:0:2組卷：217引用：2難度：0.5
解析

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