1．已知：菱形ABCD和菱形A'B'C'D'，∠BAD=∠B'A'D'，起始位置點A在邊A'B'上，點B在A'B'所在直線上，點B在點A的右側，點B'在點A′的右側，連接AC和A'C′；將菱形ABCD以A為旋轉中心逆時針旋轉α角（0°＜α＜180°）．
（1）如圖1，若點A與A′重合，且∠BAD=∠B'A′D'=90°，求證：BB'=DD′．
（2）若點A與A′不重合，M是A'C'上一點，當MA′=MA時，連接BM和A'C，BM和A'C所在直線相交于點P；
①如圖2，當∠BAD=∠B'A'D'=90°時，請求出線段BM和線段A'C的數(shù)量關系及∠BPC的度數(shù)；
②如圖3，當∠BAD=∠BA'D'=60°時，請直接寫出線段BM和線段A'C的數(shù)量關系及∠BPC的度數(shù)．

2．【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者．向常春在1994年構造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．

【小試牛刀】
把兩個全等的直角△ABC和△DAE如圖1放置，其三邊長分別為a,b,c.顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請用a,b,c分別表示出梯形ABCD，四邊形AECD，△EBC的面積：S_梯形ABCD=，S_△EBC=，S_{四邊形AECD}=．
再探究這三個圖形面積之間的關系，它們滿足的關系式為 ，化簡后，可得到勾股定理．
【知識運用】
如圖2，河道上A，B兩點（看作直線上的兩點）相距150米，C，D為兩個菜園（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A，B，AD=50米，BC=30米，現(xiàn)在菜農(nóng)要在AB上確定一個抽水點P，使得抽水點P到兩個菜園C，D的距離和最短，則該最短距離為 米．
【知識遷移】
借助上面的思考過程，請直接寫出當0＜x＜40時，代數(shù)式的最小值=．

3．問題背景：在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用方法，如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，點E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°，連接EF，探究線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關系．
（1）探究發(fā)現(xiàn)：小明同學的方法是將△ABE繞點A逆時針旋轉120°至△ADG的位置，使得AB與AD重合，然后證明△AGF≌△AEF，從而得出結論：．
（2）拓展延伸：如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，連接EF．（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）嘗試應用：
如圖③，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF=45°，連接EF，已知BE=3，DF=2，求正方形ABCD的邊長．