1．如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，BE，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)．
（1）觀察猜想
圖1中，線段AP與BE的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；
（2）探究證明
把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，小雨猜想（1）中的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你證明小雨的猜想；
（3）拓展探究
把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，請(qǐng)直接寫出線段AP的取值范圍．

2．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠ABC=30°，D在CB上，CD=2．

（1）點(diǎn)D AB的垂直平分線上．（填“在”或“不在”）
（2）如圖2，E為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，且∠EDB＜60°，將△BDE沿DE折疊得到△FDE，F(xiàn)D與邊AB相交于點(diǎn)G，當(dāng)△FEG為等腰三角形時(shí)，求∠EDB的度數(shù)．
（3）如圖3，M為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，以MD為腰向上作一個(gè)等腰直角△MDN，∠MDN=90°，當(dāng)M從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過程中，判斷點(diǎn)N是否一直在AC的垂直平分線上，并說明理由．

3．“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．
【初步感知】數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們用△ABC紙片進(jìn)行折紙操作．
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如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=28°，AB=5．將△ABC沿著DE翻折，使點(diǎn)A落在AB邊上的A處，且AE=2，則A′B=，∠DA′B=°．
【方法探索】折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法．
小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．∠A=60°，CD平分∠ACB，求證：BC=AC+AD．小明的思路如下：如圖③，將△ACD 沿CD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的E處，連接DE，…?
（1）請(qǐng)完成小明的證明過程；
（2）如圖④，CD是AB邊上的高線，其他條件不變，請(qǐng)你用剛剛獲得的方法探索AC、AD、DB之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系 ．
【思維拓展】
如圖⑤，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D、E是邊AB上的點(diǎn)，連接CD、CE，先將邊AC沿CD折疊，使點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′落在邊AB上：再將邊BC沿CE折疊，使點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B′落在CA的延長(zhǎng)線上，則線段B′E的長(zhǎng)為 ．
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