1．（1）如圖1，在△ABC中，E是AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作BC的平行線交AC于點(diǎn)F．點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)．連結(jié)AD交EF于點(diǎn)G，求證：；
（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)BF，DF，若，且FE、FB恰好將∠AFD三等分．求的值；
（3）如圖3，在等邊△ABC中，DC：DB=1：4，連結(jié)AD，點(diǎn)G在AD上，若∠BGC=120°，求的值．

2．如果a：b=b：c,即b²=ac,則b叫a和c的比例中項(xiàng)，或等比中項(xiàng)．若一個(gè)三角形一條邊是另兩條邊的等比中項(xiàng)，我們把這個(gè)三角形叫做等比三角形．

（1）已知△ABC是等比三角形，AB=2，BC=3．請直接寫出所有滿足條件的AC的長；
（2）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC，求證：△ABC是等比三角形；
（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，求的值．

3．已知：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm,BC=3cm,點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為cm/s；若設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t（s）（0＜t＜3），解答下列問題：
（1）如圖①，連接PC，當(dāng)t為何值時(shí)△APC∽△ACB，并說明理由；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t,使得點(diǎn)P在線段QC的垂直平分線上，請說明理由；
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動時(shí)，線段BC上是否存在一點(diǎn)G，使得四邊形PQGB為菱形？若存在，試求出BG長；若不存在請說明理由．