已知函數f（x）=alnx-x²+3x+3a.
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）的極值．
（Ⅱ）討論f（x）的單調性；
（Ⅲ）若
0
＜
a
＜
1
4
，證明：
f
（
x
）
＜
e
x
x
-
x
2
+
3
x
．

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【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/12/29 11:0:2組卷：505引用：5難度：0.3

相似題

1．已知函數f（x）=（x-a）lnx（a∈R），它的導函數為f'（x）．
（1）當a=1時，求f'（x）的零點；
（2）若函數f（x）存在極小值點，求a的取值范圍．
發(fā)布：2024/12/29 13:0:1組卷：279引用：8難度：0.4
解析
2．若函數
f
（
x
）
=
e
2
x
4
-
ax
e
x
有兩個極值點，則實數a的取值范圍為（　　）
A．
（
-
∞
，-
1
2
）
B．
（
-
1
2
，
0
）
C．
（
1
2
，
+
∞
）
D．
（
0
，
1
2
）
發(fā)布：2024/12/29 13:30:1組卷：110引用：3難度：0.5
解析
3．定義：設f'（x）是f（x）的導函數，f″（x）是函數f'（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數都有“拐點”且“拐點”就是三次函數圖像的對稱中心，已知函數
f
（
x
）
=
a
x
3
+
b
x
2
+
5
3
（
ab
≠
0
）
的對稱中心為（1，1），則下列說法中正確的有（　　）
A．
a
=
1
3
，b=-1
B．函數f（x）既有極大值又有極小值
C．函數f（x）有三個零點
D．過
（
-
1
，
1
3
）
可以作兩條直線與y=f（x）圖像相切
發(fā)布：2024/12/29 13:30:1組卷：149難度：0.5
解析

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已知函數f（x）=alnx-x2+3x+3a.（Ⅰ）當a=2時，求f（x）的極值．（Ⅱ）討論f（x）的單調性；（Ⅲ）若0＜a＜14，證明：f（x）＜exx-x2+3x．