1．定義：兩個(gè)相似三角形共邊且位于一個(gè)角的平分線兩側(cè)，則稱這樣的兩個(gè)相似三角形為疊似三角形．
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（1）如圖1，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，∠BCD+∠BAD=180°，求證：△ACB和△ADC為疊似三角形；
（2）如圖2，△ACB和△ADC為疊似三角形，若CD∥AB，AD=4，AC=6，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；
（3）如圖3，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，連結(jié)AD，點(diǎn)E在AD上，且DE=DC，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，且∠BEC=∠AEF，若BC=9，AE=4，求的值．

2．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°，AB=AC，點(diǎn)D是AC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)H是射線BC上一點(diǎn)，連接BD，AH．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)H在線段BC上時(shí)，若AH⊥BD，AB=3，AH=，求△AHC的面積；
（2）如圖2，將線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，連接CE，取CE中點(diǎn)M，連接DM．求證：AD=DM；
（3）如圖3，連接DH，將△ADH沿AH翻折得到△AD'H，連接BD'，若點(diǎn)F是BD'的中點(diǎn)，且∠ABD=30°，AD=2，當(dāng)CF取最小值時(shí)，求的值．

3．已知：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm,BC=3cm,點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為cm/s；若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜3），解答下列問(wèn)題：
（1）如圖①，連接PC，當(dāng)t為何值時(shí)△APC∽△ACB，并說(shuō)明理由；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t,使得點(diǎn)P在線段QC的垂直平分線上，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段BC上是否存在一點(diǎn)G，使得四邊形PQGB為菱形？若存在，試求出BG長(zhǎng)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．