1．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，研究三角形和矩形的性質(zhì)時，做了如下探究：在矩形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，BC=3，AB=4，DE=1．
【觀察與猜想】（1）如圖1，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交BC于點(diǎn)F，連接AF，求證：AE=EF；
【類比探究】（2）如圖2，點(diǎn)P在矩形ABCD的邊AD上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、D重合），連接PE，過點(diǎn)E作EF⊥PE，交BC于點(diǎn)F，連接PF．求證：△PDE∽△ECF；
【拓展延伸】（3）如圖3，點(diǎn)P在矩形ABCD的邊AD上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、D重合），連接PE，過點(diǎn)E作EF⊥PE，交AB于點(diǎn)F，連接PF，且△PEF的面積是2.16，求AP的長．

2．已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E是對角線BD上一點(diǎn)（與B、D不重合），EF平分∠AED交邊AD于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥AE，交AE于點(diǎn)G．
（1）當(dāng)EF⊥AD時，求EF的長；
（2）當(dāng)△AFG與△BCD相似時，求∠DEF的正切值；
（3）如果△DEF的面積是△EFG面積的2倍，求BE的長．

3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B在線段AO上，且AB=2BO，若點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，連接BP，過點(diǎn)P作PQ⊥PB．
（1）如圖1，點(diǎn)E是射線PQ上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C．
①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求證：△BOP∽△PCE．
（2）在（1）的條件下，如圖2，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（-4，0）．過點(diǎn)A作DA⊥y軸，且和CE的延長線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)C關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)C′正好落在線段AD上，連接PC′，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖3，若∠BPO=60°，點(diǎn)E在直線PQ上，EC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，若以點(diǎn)E，P，C為頂點(diǎn)的三角形和△BPE相似，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．