1.【閱讀與思考】
整式乘法與因式分解是方向相反的變形.如何把二次三項(xiàng)式ax
2+bx+c(a≠0)分解因式呢?我們已經(jīng)知道:
(a
1x+c
1)(a
2x+c
2)=a
1a
2x
2+a
1c
2x+a
2c
1x+c
1c
2=a
1a
2x
2+(a
1c
2+a
2c
1)x+c
1c
2.
反過來,就得到:a
1a
2x
2+(a
1c
2+a
2c
1)x+c
1c
2=(a
1x+c
1)(a
2x+c
2).
我們發(fā)現(xiàn),二次三項(xiàng)式ax
2+bx+c(a≠0)的二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成a
1a
2,常數(shù)項(xiàng)c分解成c
1c
2,并且把a(bǔ)
1,a
2,c
1,c
2,如圖1所示擺放,按對角線交叉相乘再相加,就得到a
1c
2+a
2c
1,如果a
1c
2+a
2c
1的值正好等于ax
2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b,那么ax
2+bx+c就可以分解為(a
1x+c
1)(a
2x+c
2),其中a
1,c
1位于圖的上一行,a
2,c
2位于下一行.
像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù),從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法,通常叫做“十字相乘法”.
例如,將式子x
2-x-6分解因式的具體步驟為:首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積,即1=1×1,把常數(shù)項(xiàng)-6也分解為兩個因數(shù)的積,即-6=2×(-3);然后把1,1,2,-3按圖2所示的擺放,按對角線交叉相乘再相加的方法,得到1×(-3)+1×2=-1,恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)-1,于是x
2-x-6就可以分解為(x+2)(x-3).
請同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考,嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù),并用“十字相乘法”分解因式:x
2+x-6=
.
【理解與應(yīng)用】
請你仔細(xì)體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式:
(1)2x
2+5x-7=
;
(2)6x
2-7xy+2y
2=
.
【探究與拓展】
對于形如ax
2+bxy+cy
2+dx+ey+f的關(guān)于x,y的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來分解,如圖4.將a分解成mn乘積作為一列,c分解成pq乘積作為第二列,f分解成jk乘積作為第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都滿足十字相乘規(guī)則,則原式=(mx+py+j)(nx+qy+k),請你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題:
(1)分解因式3x
2+5xy-2y
2+x+9y-4=
;
(2)若關(guān)于x,y的二元二次式x
2+7xy-18y
2-5x+my-24可以分解成兩個一次因式的積,求m的值.