1．問題提出：

（1）如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，有∠ADE=45°．求證：△BDA∽△CED；
問題探究
（2）如圖2，將矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，若AB=3，AD=5，求DE的長；
問題解決
（3）如圖3，菱形ABCD是一座避暑山莊的平面示意圖，其中∠BAD=60°，AB=120米，現(xiàn)計劃在山莊內(nèi)修建一個三角形花園AP，點(diǎn)P、Q分別在線段BC、CD上，根據(jù)設(shè)計要求要使∠APQ=120°，且AP=3PQ，問能否建造出符合要求的三角形花園APQ，若能，請找出點(diǎn)P、Q的位置（即求出DQ與BP的長），若不能，請說明理由．

2．綜合與實(shí)踐課上，夢班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組對圖形中兩條互相垂直的線段間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究時，遇到以下問題，請你逐一加以解答：
（1）操作判斷
如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF=5，則GH的長為 ；
如圖2，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF=8，則GH的長為 ；
（2）遷移探究
如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，且AE⊥BD，試證明；
（3）拓展應(yīng)用
如圖4，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AE上一點(diǎn)，AG⊥BF交BE于點(diǎn)H，交矩形ABCD的邊于點(diǎn)G．當(dāng)F為AE的三等分點(diǎn)時，請直接寫出GH的長．

3．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊BC上的一點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)N在CD邊的延長線上，且滿足∠MAN=90°，聯(lián)結(jié)MN、AC，MN與邊AD交于點(diǎn)E．
（1）求證：AM=AN；
（2）如果∠CAD=2∠NAD，求證：AM²=AC?AE；
（3）MN和AC相交于O點(diǎn)，若BM=1，AB=3，試猜想線段OM，ON的數(shù)量關(guān)系并證明．