1．如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，點E是邊AD上一點，連接BE，CE．
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（1）若∠BEC=90°時，求AE的長度；
（2）如圖2，以BE為邊在BE的左側(cè)作矩形BEFG，且BG：BE=2：5，連接AG，CE．
①求證：∠BAG=∠BCE；
②求證：AG⊥CE．

2．將正方形ABCD（如圖1）作如下劃分，第1次劃分：分別連接正方形ABCD對邊的中點（如圖2），線段HF和EG交于點M，此時圖2中共有5個正方形；第2次劃分：將圖2左上角正方形AEMH再劃分，得圖3，則圖3中共有9個正方形．
（1）若把左上角的正方形依次劃分下去，則第5次劃分后，圖中共有 個正方形；
（2）繼續(xù)劃分下去，第n次劃分后圖中共有 個正方形；
（3）能否將正方形ABCD劃分成共有2023個正方形的圖形？如果能，請算出是第幾次劃分，如果不能，需說明理由；
（4）如果設(shè)原正方形的邊長為1，按照上述方式不斷地分割該正方形，并把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，可以很容易得到一些計算結(jié)果，嘗試求出的結(jié)果（直接寫出答案即可）．

3．在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，現(xiàn)將紙片折疊，點D的對應(yīng)點記為點P，折痕為EF（點E、F是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原．

初步思考
（1）如圖1，若點P落在矩形ABCD的邊AB上．
①當點P與點A重合時，CF=，當點E與點A重合時，CF=；
②當點F與C重合時，DE=．
深入探究
（2）如圖2，當點E在AB上，點F在DC上，點P在AB上，EF、DP交于點O時，
①求證：四邊形DEPF為菱形；
②若AP=6，則EF=；
③若菱形DEPF的面積為S，則S的取值范圍為 ．
拓展延伸
（3）如圖3，若點F與點C重合，點E在AD上，射線FP與射線BA交于點M．當AM=DE時，AE=．