1．如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，BC=12，D是BC的中點．經(jīng)過A，B，D的⊙O交AC于E點．
（1）求AE的長．
（2）當點P從點A勻速運動到點E時，點Q恰好從點C勻速運動點B．記AP=x,BQ=y.
①求y關(guān)于x的表達式．
②連結(jié)PQ，當△PQC的面積最大時，求x的值．
（3）如圖2，連結(jié)BE，BP，延長BP交⊙O于點F，連結(jié)FE．當EF與△BDE中的某一邊相等時，求四邊形BDEF的面積．

2．如圖①，在⊙O中，弦AD平分圓周角∠BAC，我們將圓中以A為公共點的三條弦AB，AC，AD構(gòu)成的圖形稱為圓中“爪形A”，弦AB，AC，AD稱為“爪形A”的爪．

已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=BC，連接BD．（如圖②）
（1）證明：圓中存在“爪形D”；
（2）如圖③，若“爪形D”的爪之間滿足AD+CD=BD，求∠ADC的大??；
（3）如圖④，若∠ABC=90°，作點D關(guān)于BC對稱的點P，連接PA，PB，PC，試猜想PA，PB，PC三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．

3．[問題提出]我們知道：同弧或等弧所對的圓周角都相等，且等于這條弧所對的圓心角的一半，那么，在一個圓內(nèi)同一條弦所對的圓周角與圓心角之間又有什么關(guān)系呢？
[初步思考]

（1）如圖1，AB是⊙O的弦，∠AOB=100°，點P₁、P₂分別是優(yōu)弧AB和劣弧AB上的點，則∠AP₁B=°，∠AP₂B=°；
（2）如圖2，AB是⊙O的弦，圓心角∠AOB=m°（m＜180°），點P是⊙O上不與A、B重合的一點，求弦AB所對的圓周角∠APB的度數(shù)為 ；（用m的代數(shù)式表示）
[問題解決]
（3）如圖3，已知線段AB，點C在AB所在直線的上方，且∠ACB=135°，用尺規(guī)作圖的方法作出滿足條件的點C所組成的圖形（①直尺為無刻度直尺；②不寫作法，保留作圖痕跡）；
[實際應(yīng)用]
（4）如圖4，在邊長為6的等邊三角形ABC中，點E、F分別是邊AC、BC上的動點，連接AF、BE，交于點P，若始終保持AE=CF，當點E從點A運動到點C時，點P運動的路徑長是 ．