1．【概念認(rèn)識(shí)】
定義：如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．當(dāng)這個(gè)點(diǎn)是直角的頂點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)又稱為強(qiáng)勾股點(diǎn)．

如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，A是B，C兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，B是A，C兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，C是A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，也是強(qiáng)勾股點(diǎn)．
【概念運(yùn)用】
（1）如圖②，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，A，B兩點(diǎn)均在格點(diǎn)上，線段CD上的8個(gè)格點(diǎn)中，是A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的有 個(gè)．
（2）如圖③，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，若AD=1，BD=4，CD=2．求證：C是A，B兩點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)．
【拓展提升】
（3）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=4，D是AC的中點(diǎn)，P是射線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P是Rt△ABC任意兩個(gè)頂點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)時(shí)，直接寫出BP的長(zhǎng)．

2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，且AB=8，∠BAO=30°．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖2，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，OC=OA，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線交x軸于點(diǎn)D，求證：CD=2OD；
（3）在（2）的條件下，在射線BD上有一點(diǎn)E，若∠CAE=∠CBE，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)．

3．△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，作BF⊥AB交AD的延長(zhǎng)線于F．
（1）如圖1，若DF=1，．
①求DG的長(zhǎng)．
②求GE的長(zhǎng)．
（2）如圖2，若線段AG上有一點(diǎn)I，BI=AI，EI=EG，
①求證：EI∥BF．
②求∠ACB的度數(shù)．