2023-2024學(xué)年黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求.

• 1．已知集合A={x||x-2|＜1}，B={x|log₂x＜1}，則A∪B=（　?。?/div>

  A．（0，3）

  B．（1，2）

  C．（-∞，3）

  D．（0，2）
  組卷：20引用：3難度：0.9

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• 2．已知平面向量

  a

  ，

  b

  滿足（

  a

  +

  b

  ）?

  b

  =2，且|

  a

  |=1，|

  b

  |=2，則|

  a

  +

  b

  |=（　?。?/div>

  A． 3

  B． 2

  C．1

  D． 2 3
  組卷：275引用：8難度：0.8

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• 3．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個(gè)數(shù)列{a_n}本身不是等差數(shù)列，但從{a_n}數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列{b_n}（則稱數(shù)列{a_n}為一階等差數(shù)列），或者{b_n}仍舊不是等差數(shù)列，但從{b_n}數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列{c_n}（則稱數(shù)列{a_n}為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列1，1，2，8，64，…是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第8項(xiàng)是（　?。?/div>

  A．25

  B．2

  C．221

  D．228
  組卷：67引用：6難度：0.6

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• 4．已知

  sin

  （

  α

  +

  π

  6

  ）

  -

  cosα

  =

  4

  5

  ，則

  cos

  （

  α

  +

  π

  3

  ）

  =（　?。?/div>

  A． 3 5

  B． 4 5

  C． - 3 5

  D． - 4 5
  組卷：137引用：5難度：0.8

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• 5．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  | lo g 2 （ x - 1 ） | ， 1 ＜ x ≤ 3

  x 2 - 10 x + 22 ， x ＞ 3

  ，若方程y=f（x）-m有4個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則

  （

  1

  x

  1

  +

  1

  x

  2

  ）

  （

  x

  3

  +

  x

  4

  ）

  =（　?。?/div>

  A．10

  B．8

  C．6

  D．4
  組卷：195引用：2難度：0.5

  解析
• 6．設(shè)

  a

  =

  10

  sin

  0

  .

  1

  ，

  b

  =

  cos

  1

  20

  ，

  c

  =

  20

  sin

  1

  20

  ，則（　?。?/div>

  A．c＜b＜a

  B．b＜a＜c

  C．a(chǎn)＜c＜b

  D．a(chǎn)＜b＜c
  組卷：44引用：3難度：0.5

  解析
• 7．如圖，在等腰直角△ABC中，斜邊AC=2，M為AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．將線段AC繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到線段EF，則

  ME

  ?

  MF

  =（　　）

  A．-2

  B．- 3 2

  C．-1

  D．- 1 2
  組卷：185引用：6難度：0.6

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四、解答題：本大題共6小題，其中17題滿分70分，其余各題滿分70分，共70分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

• 21．如圖，某城市有一條從正西方（MO）通過市中心O后轉(zhuǎn)向東偏北60°方向（ON）的公路，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條繞城高速公路L，并在OM，ON上分別設(shè)置兩個(gè)出口A，B，B在A的東偏北θ的方向（A，B兩點(diǎn)之間的高速公路可近似看成直線段），由于A，B之間相距較遠(yuǎn)，計(jì)劃在A，B之間設(shè)置一個(gè)服務(wù)區(qū)P．
  （1）若P在O的正北方向且OP=2km,求A，B到市中心O的距離和最小時(shí)tanθ的值；
  （2）若B在市中心O的距離為10km,此時(shí)P在∠AOB的平分線與AB的交點(diǎn)位置，且滿足

  OP

  2

  +

  BP

  2

  ≥

  11

  OP

  ?

  BP

  ，求A到市中心O的最大距離．
  組卷：111引用：5難度：0.2

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• 22．已知函數(shù)f（x）=xlnx.
  （1）若a≤-2，證明：f（x）≥ax-e-³在（0，+∞）上恒成立；
  （2）若方程．f（x）=b有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：

  be

  +

  1

  ＜

  x

  2

  -

  x

  1

  ＜

  e

  -

  3

  +

  2

  +

  3

  b

  2

  ．
  組卷：37引用：3難度：0.2

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