2023-2024學(xué)年吉林省長春第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（上）競賽數(shù)學(xué)試卷（10月份）

一、單選題（每小題3分，共24分）

• 1．若二次根式

  x

  -

  2

  有意義，則x的取值范圍是（　?。?/div>

  A．x＜2

  B．x≠2

  C．x≤2

  D．x≥2
  組卷：1011引用：36難度：0.9

  解析
• 2．下列運(yùn)算中錯(cuò)誤的是（　?。?/div>

  A． 2 × 3 = 6

  B． 8 ÷ 2 = 2

  C． 2 + 3 = 5

  D． （ - 3 ） 2 = 3
  組卷：170引用：7難度：0.9

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• 3．下列事件是必然事件的是（　?。?/div>

  A．經(jīng)過有信號(hào)燈的十字路口，遇見紅燈

  B．從一副撲克中任意抽出一張是黑桃

  C．在一個(gè)三角形中，任意兩邊之和大于第三邊

  D．明天一定下雨
  組卷：409引用：9難度：0.8

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• 4．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東37°方向，距離燈塔40海里的A處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的正東方向上的B處．這時(shí)，B處與燈塔P的距離BP的長可以表示為（　?。?/div>

  A．40海里	B．40tan37°海里
  C．40cos37°海里	D．40sin37°海里
  組卷：632引用：13難度：0.7

  解析
• 5．關(guān)于x的一元二次方程kx²+2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。?/div>

  A．k＞-1

  B．k＞1

  C．k≠0

  D．k＞-1且k≠0
  組卷：559引用：115難度：0.9

  解析
• 6．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，則tanA的值為（　?。?/div>

  A． 4 3

  B． 4 5

  C． 3 4

  D． 3 5
  組卷：31引用：5難度：0.9

  解析
• 7．如圖，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AC=8，BC=6，DE=3，則AD的長為（　?。?/div>

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  組卷：515引用：35難度：0.9

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• 8．如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（　?。?/div>

  A．∠ABP=∠C

  B．∠APB=∠ABC

  C． AP AB = AB AC

  D． AB BP = AC CB
  組卷：15094引用：174難度：0.9

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三、解答題：

• 23．【感知】
  小明同學(xué)復(fù)習(xí)“相似三角形”的時(shí)候遇到了這樣的一道題目：
  

  如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作∠ADE=∠B，交AC于點(diǎn)E．求證：△ABD∽△DCE．

  小明同學(xué)分析后發(fā)現(xiàn)，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B，再結(jié)合已知條件可以得到△ABD∽△DCE．請(qǐng)根據(jù)小明的分析，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程．
  【探究】
  在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D為BC上一點(diǎn)．
  （1）如圖②，過點(diǎn)D作∠ADE=∠B，交AC于點(diǎn)E．當(dāng)DE∥AB時(shí)，AD的長為

  ．
  （2）如圖③，過點(diǎn)D作∠FDE=∠B，分別交AB、AC于點(diǎn)F、E．當(dāng)CD=4時(shí)，BF的長的取值范圍為

  ．
  
  組卷：311引用：5難度：0.3

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• 24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，點(diǎn)Q在邊AC上，CQ=1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AC運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)Q重合時(shí)，以PQ為邊構(gòu)造Rt△PQM，使∠PMQ=∠A，∠QPM=90°，且M與點(diǎn)B在直線AC的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
  （1）AB的長為

  ．
  （2）點(diǎn)M落在AB邊上時(shí)，求t的值；
  （3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，設(shè)△PQM與△ABC重合部分圖形的周長為l,求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
  （4）當(dāng)點(diǎn)M與△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)（點(diǎn)C除外）連線所在的直線平分△ABC面積時(shí)，直接寫出t的值．
  組卷：170引用：2難度：0.1

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