2020-2021學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市天心區(qū)長(zhǎng)郡中學(xué)高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

• 1．已知集合A={x∈N|

  1

  2

  ＜2^x+1＜16}，B={x|x²-4x+m=0}，若1∈A∩B，則A∪B=（　?。?/h2>

  A．{1，2，3}

  B．{1，2，3，4}

  C．{0，1，2}

  D．{0，1，2，3}
  組卷：95引用：6難度：0.8

  解析

• 2．已知復(fù)數(shù)z滿足z（1+2i）=|4-3i|（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（　　）

  A．-2

  B．-2i

  C．1

  D．i
  組卷：732引用：17難度：0.8

  解析

• 3．f（x）=

  x

  1

  -

  cosx

  的部分圖象大致是（　?。?/h2>

  A．	B．
  C．	D．
  組卷：82引用：6難度：0.9

  解析

• 4．饕餮（tāo tiè）紋，青銅器上常見的花紋之一，盛行于商代至西周早期，最早出現(xiàn)在距今五千年前長(zhǎng)江下游地區(qū)的良渚文化玉器上．有人將饕餮紋的一部分畫到了方格紙上，如圖所示，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，有一點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它經(jīng)過3次跳動(dòng)后恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)B的概率為（　?。?br />

  A． 1 16

  B． 1 8

  C． 1 4

  D． 1 2
  組卷：84引用：9難度：0.8

  解析

• 5．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的右焦點(diǎn)F，點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)Q在圓E：（x+3）²+（y-4）²=4上，且圓E上的所有點(diǎn)均在橢圓C外，若|PQ|-|PF|的最小值為2

  5

  -6，且橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓E的直徑長(zhǎng)相等，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　?。?/h2>

  A． x 2 2 + y 2 = 1

  B． x 2 4 + y 2 = 1

  C． x 2 4 + y 2 3 = 1

  D． x 2 4 + y 2 2 = 1
  組卷：462引用：4難度：0.5

  解析

• 6．命題p：f（x）=x+alnx（a∈R）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增；命題q：存在x∈[2，e]，使得

  x

  -

  1

  lnx

  -e+4+2a≥0成立（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若p且q為假，p或q為真，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．（-2，- 3 2 ）	B．（-2，- 3 2 ）∪[-1，+∞）
  C．[- 3 2 ，-1）	D．（2，- 3 2 ）∪[1，+∞）
  組卷：39引用：3難度：0.5

  解析

• 7．已知

  A

  （

  2

  ，

  1

  ）

  ，

  B

  （

  2

  3

  ，

  0

  ）

  ，

  C

  ，

  D

  四點(diǎn)均在函數(shù)f（x）=log₂

  ax

  x

  +

  b

  的圖象上，若四邊形ABCD為平行四邊形，則四邊形ABCD的面積是（　?。?/h2>

  A． 26 5

  B． 26 3

  C． 52 5

  D． 52 3
  組卷：61引用：2難度：0.6

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四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，且|DE|=4．
  （1）求拋物線C的方程；
  （2）設(shè)直線l過點(diǎn)A（2，0）且與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)R在拋物線C上，點(diǎn)N在x軸上，

  NP

  +

  NQ

  +

  NR

  =

  0

  ，直線PR交x軸于點(diǎn)B，且點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，記△APN的面積為S₁，△RNB的面積為S₂，求

  S

  1

  S

  2

  的最小值．
  組卷：168引用：1難度：0.2

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• 22．已知函數(shù)f（x）=e^x+e^-x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
  （1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
  （2）若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
  （3）已知正數(shù)a滿足：存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜a（-x₀³+3x₀）成立，試比較e^a-1與a^e-1的大小，并證明你的結(jié)論．
  組卷：503引用：6難度：0.1

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