北師大版七年級（上）中考題單元試卷：第4章 平面圖形及其位置關(guān)系（02）

一、選擇題（共1小題）

• 1．已知△ABC的三條邊長分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（　?。?/h2>

  A．6條

  B．7條

  C．8條

  D．9條
  組卷：2634引用：47難度：0.5

  解析

二、填空題（共4小題）

• 2．如圖，將線段AB放在邊長為1的小正方形網(wǎng)格，點A點B均落在格點上，請用無刻度直尺在線段AB上畫出點P，使AP=

  2

  17

  3

  ，并保留作圖痕跡．（備注：本題只是找點不是證明，∴只需連接一對角線就行）
  組卷：1212引用：27難度：0.7

  解析

• 3．如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，點B，點C均落在格點上．
  （Ⅰ）計算AC²+BC²的值等于

  ；
  （Ⅱ）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出一個以AB為一邊的矩形，使該矩形的面積等于AC²+BC²，并簡要說明畫圖方法（不要求證明）．
  組卷：1851引用：31難度：0.7

  解析

• 4．如圖，在正方形網(wǎng)格中有一邊長為4的平行四邊形ABCD，請將其剪拼成一個有一邊長為6的矩形．（要求：在答題卡的圖中畫出裁剪線即可）
  組卷：462引用：27難度：0.5

  解析

• 5．如圖，在一張長為8cm,寬為6cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上）．則剪下的等腰三角形的面積為

  cm²．
  組卷：3378引用：47難度：0.5

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三、解答題（共25小題）

• 6．如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，請你用尺規(guī)作圖將△ABC分成兩個全等的三角形，并說明這兩個三角形全等的理由．（保留作圖痕跡，不寫作法）
  組卷：702引用：29難度：0.7

  解析

• 7．圖①，圖②，圖③都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1．在圖①，圖②中已畫出線段AB，在圖③中已畫出點A．按下列要求畫圖：
  
  （1）在圖①中，以格點為頂點，AB為一邊畫一個等腰三角形；
  （2）在圖②中，以格點為頂點，AB為一邊畫一個正方形；
  （3）在圖③中，以點A為一個頂點，另外三個頂點也在格點上，畫一個面積最大的正方形．
  組卷：675引用：33難度：0.7

  解析

• 8．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，請畫出以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3）
  組卷：1876引用：42難度：0.5

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• 9．在邊長為1的小正方形組成的方格紙中，若多邊形的各頂點都在方格紙的格點（橫豎格子線的交錯點）上，這樣的多邊形稱為格點多邊形．記格點多邊形內(nèi)的格點數(shù)為a,邊界上的格點數(shù)為b,則格點多邊形的面積可表示為S=ma+nb-1，其中m,n為常數(shù)．
  （1）在下面的方格中各畫出一個面積為6的格點多邊形，依次為三角形、平行四邊形（非菱形）、菱形；
  （2）利用（1）中的格點多邊形確定m,n的值．
  
  組卷：699引用：30難度：0.5

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• 10．各頂點都在方格紙格點（橫豎格子線的交錯點）上的多邊形稱為格點多邊形．如何計算它的面積？奧地利數(shù)學(xué)家皮克（G?Pick,1859～1942年）證明了格點多邊形的面積公式S=a+

  1

  2

  b-1，其中a表示多邊形內(nèi)部的格點數(shù)，b表示多邊形邊界上的格點數(shù)，S表示多邊形的面積．如圖，a=4，b=6，S=4+

  1

  2

  ×6-1=6
  （1）請在圖1中畫一個格點正方形，使它的內(nèi)部只含有4個格點，并寫出它的面積．
  （2）請在圖2中畫一個格點三角形，使它的面積為

  7

  2

  ，且每條邊上除頂點外無其它格點．
  
  組卷：758引用：30難度：0.5

  解析

三、解答題（共25小題）

• 29．數(shù)學(xué)問題：計算

  1

  m

  +

  1

  m

  2

  +

  1

  m

  3

  +…+

  1

  m

  n

  （其中m,n都是正整數(shù)，且m≥2，n≥1）．
  探究問題：為解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究．
  探究一：計算

  1

  2

  +

  1

  2

  2

  +

  1

  2

  3

  +…+

  1

  2

  n

  ．
  第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為

  1

  2

  ；
  第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為

  1

  2

  +

  1

  2

  2

  ；
  第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，…；
  …
  第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為

  1

  2

  +

  1

  2

  2

  +

  1

  2

  3

  +…+

  1

  2

  n

  ，最后空白部分的面積是

  1

  2

  n

  ．
  根據(jù)第n次分割圖可得等式：

  1

  2

  +

  1

  2

  2

  +

  1

  2

  3

  +…+

  1

  2

  n

  =1-

  1

  2

  n

  ．
  
  探究二：計算

  1

  3

  +

  1

  3

  2

  +

  1

  3

  3

  +…+

  1

  3

  n

  ．
  第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為

  2

  3

  ；
  第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為

  2

  3

  +

  2

  3

  2

  ；
  第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，…；
  …
  第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為

  2

  3

  +

  2

  3

  2

  +

  2

  3

  3

  +…+

  2

  3

  n

  ，最后空白部分的面積是

  1

  3

  n

  ．
  根據(jù)第n次分割圖可得等式：

  2

  3

  +

  2

  3

  2

  +

  2

  3

  3

  +…+

  2

  3

  n

  =1-

  1

  3

  n

  ，
  兩邊同除以2，得

  1

  3

  +

  1

  3

  2

  +

  1

  3

  3

  +…+

  1

  3

  n

  =

  1

  2

  -

  1

  2

  ×

  3

  n

  ．
  
  探究三：計算

  1

  4

  +

  1

  4

  2

  +

  1

  4

  3

  +…+

  1

  4

  n

  ．
  （仿照上述方法，只畫出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫出探究過程）
  
  解決問題：計算

  1

  m

  +

  1

  m

  2

  +

  1

  m

  3

  +…+

  1

  m

  n

  ．
  （只需畫出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并完成以下填空）
  根據(jù)第n次分割圖可得等式：

  ，
  所以，

  1

  m

  +

  1

  m

  2

  +

  1

  m

  3

  +…+

  1

  m

  n

  =

  ．
  拓廣應(yīng)用：計算

  5

  -

  1

  5

  +

  5

  2

  -

  1

  5

  2

  +

  5

  3

  -

  1

  5

  3

  +…+

  5

  n

  -

  1

  5

  n

  ．
  組卷：1752引用：31難度：0.1

  解析

• 30．在校園文化建設(shè)活動中，需要裁剪一些菱形來美化教室．現(xiàn)有平行四邊形ABCD的鄰邊長分別為1，a（a＞1）的紙片，先剪去一個菱形，余下一個四邊形，在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，…依此類推，請畫出剪三次后余下的四邊形是菱形的裁剪線的各種示意圖，并求出a的值．
  組卷：546引用：29難度：0.1

  解析