2023-2024學年上海市松江一中高三（上）期中數學試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分．考生必須在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，第1～6題每個空格填對得4分，第7～12題每個空格填對得5分，否則一律得零分）．

• 1．已知z=1+i,則|z|=

  ．
  組卷：18引用：8難度：0.9

  解析

• 2．函數f （x）=

  1

  x

  +

  1

  +lnx的定義域是

  ．
  組卷：3417引用：30難度：0.9

  解析

• 3．記S_n為等差數列{a_n}的前n項和．若2S₃=3S₂+6，則公差d=

  ．
  組卷：4171引用：12難度：0.8

  解析

• 4．函數f（x）=2x²-1的極值點為

  ．
  組卷：85引用：3難度：0.6

  解析

• 5．已知函數y=f（x）是奇函數，當x＞0時，f（x）=2^x，則f（-2）=

  ．
  組卷：58引用：2難度：0.7

  解析

• 6．已知向量

  a

  與

  b

  的夾角是120°，|

  a

  |=3，|

  a

  +

  b

  |=

  13

  ，則|

  b

  |=

   

  ．
  組卷：427引用：16難度：0.7

  解析

• 7．已知tanα=

  1

  3

  ，tanβ=-

  1

  7

  ，則tan（2α-β）的值為

   

  ．
  組卷：48引用：3難度：0.5

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟．

• 20．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率e=

  2

  2

  ，直線l交橢圓C于A、B兩點，O為坐標原點．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）若l不過O點且不平行于坐標軸，記線段AB的中點為M，求證：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
  （3）若OA⊥OB，求△AOB面積的取值范圍．
  組卷：85難度：0.2

  解析

• 21．.已知函數f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），g（x）=sinx-ax（a∈R）．
  （1）求f（x）的最大值；
  （2）若對?x₁∈（0，+∞），總存在

  x

  2

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求實數a的取值范圍；
  （3）證明不等式

  sin

  （

  1

  n

  ）

  n

  +

  sin

  （

  2

  n

  ）

  n

  +

  …

  +

  sin

  （

  n

  n

  ）

  n

  ＜

  e

  e

  -

  1

  （其中e是自然對數的底數）．
  組卷：273難度：0.2

  解析