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2022-2023學(xué)年北京八中高三（上）開學(xué)診斷數(shù)學(xué)試卷（9月份）

發(fā)布：2024/4/20 14:35:0

一、選擇題（每題的四個(gè)備選答案中只有一個(gè)答案正確）

1．已知集合A=
{
x
|
y
=
x
-
1
}
，集合B={x||x|＜2}，則A∩B=（　?。?/h2>
A．R B．? C．[1，2] D．[1，2）
組卷：89引用：4難度：0.9
解析
2．命題“?x∈[0，+∞），x³+x≥0”的否定是（　　）
A．?x∈（-∞，0），x³+x＜0 B．?x∈（-∞，0），x³+x≥0
C．?x₀∈[0，+∞），
x
3
0
+x₀＜0 D．?x₀∈[0，+∞），
x
3
0
+x₀≥0
組卷：2072引用：77難度：0.9
解析
3．已知復(fù)數(shù)
z
=
a
+
i
2
-
i
∈
R
（其中a為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位），則a=（　　）
A．-2 B．
-
1
2
C．
1
2
D．2
組卷：43引用：6難度：0.8
解析
4．等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，
AB
=
a
，
BC
=
b
，則
a
?
b
的值為（　?。?/h2>
A．
-
1
2
B．
1
2
C．
-
3
2
D．
3
2
組卷：339引用：3難度：0.7
解析
5．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列、數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，若a₃+a₆+a₉=6，b₂b₅b₈=8，則
a
4
+
a
8
b
1
b
9
的值是（　　）
A．
1
2
B．1 C．2 D．4
組卷：260引用：6難度：0.7
解析
6．函數(shù)y=（3^x-3^-x）cosx在區(qū)間[-
π
2
，
π
2
]的圖像大致為（　?。?/h2>
A． B．
C． D．
組卷：2426引用：15難度：0.6
解析
7．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ），
|

φ
|
＜
π
2
，那么“
|

φ
|
=
π
6
”是“f（x）在
[
-
π
6
，
π
6
]
上是增函數(shù)”的（　　）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
組卷：359引用：4難度：0.6
解析

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三、解答題

20．已知函數(shù)f（x）=
lnx
+
a
x
+
1
．
（Ⅰ）若f'（1）=
1
4
，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞2時(shí)，
①求證：f（x）有唯一的極值點(diǎn)x₁；
②記f（x）的零點(diǎn)為x₀，是否存在a使得
x
1
x
0
≤e²？說明理由．
組卷：670引用：4難度：0.4
解析
21．對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列{a_n}，如果滿足a_m+m（m=1，2，3，…）為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列{a_n}具有“M性質(zhì)”；不論數(shù)列{a_n}是否具有“M性質(zhì)”，如果存在與{a_n}不是同一數(shù)列的{b_n}，且{b_n}同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：①b₁，b₂，b₃，…，b_n是a₁，a₂，a₃，…，a_n的一個(gè)排列；②數(shù)列{b_n}具有“M性質(zhì)”，則稱數(shù)列{a_n}具有“變換M性質(zhì)”．
（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和
S
n
=
n
3
（
n
2
-
1
）
，證明數(shù)列{a_n}具有“M性質(zhì)”；
（Ⅱ）試判斷數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列1，2，3，…，11是否具有“變換M性質(zhì)”，具有此性質(zhì)的數(shù)列請(qǐng)寫出相應(yīng)的數(shù)列{b_n}，不具此性質(zhì)的說明理由；
（Ⅲ）對(duì)于有限項(xiàng)數(shù)列A：1，2，3，…，n,某人已經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)n∈[12，m²]（m≥5）時(shí)，數(shù)列A具有“變換M性質(zhì)”，試證明：當(dāng)n∈[m²+1，（m+1）²]時(shí)，數(shù)列A也具有“變換M性質(zhì)”．
組卷：326引用：3難度：0.1
解析

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A．?x∈（-∞，0），x³+x＜0	B．?x∈（-∞，0），x³+x≥0
C．?x₀∈[0，+∞）， x 3 0 +x₀＜0	D．?x₀∈[0，+∞）， x 3 0 +x₀≥0

A．充分而不必要條件	B．必要而不充分條件
C．充分必要條件	D．既不充分也不必要條件

A．	B．
C．	D．

2022-2023學(xué)年北京八中高三（上）開學(xué)診斷數(shù)學(xué)試卷（9月份）

一、選擇題（每題的四個(gè)備選答案中只有一個(gè)答案正確）

1．已知集合A={x|y=x-1}，集合B={x||x|＜2}，則A∩B=（ ?。?/h2>

2．命題“?x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（ ）

3．已知復(fù)數(shù)z=a+i2-i∈R（其中a為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位），則a=（ ）

4．等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，AB=a，BC=b，則a?b的值為（ ?。?/h2>

5．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列、數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，若a3+a6+a9=6，b2b5b8=8，則a4+a8b1b9的值是（ ）

6．函數(shù)y=（3x-3-x）cosx在區(qū)間[-π2，π2]的圖像大致為（ ?。?/h2>

7．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ），| φ|＜π2，那么“| φ|=π6”是“f（x）在[-π6，π6]上是增函數(shù)”的（ ）

三、解答題

20．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+1．（Ⅰ）若f'（1）=14，求a的值；（Ⅱ）當(dāng)a＞2時(shí)，①求證：f（x）有唯一的極值點(diǎn)x1；②記f（x）的零點(diǎn)為x0，是否存在a使得x1x0≤e2？說明理由．

1．已知集合A=
{
x
|
y
=
x
-
1
}
，集合B={x||x|＜2}，則A∩B=（　?。?/h2>

2．命題“?x∈[0，+∞），x³+x≥0”的否定是（　　）

3．已知復(fù)數(shù)
z
=
a
+
i
2
-
i
∈
R
（其中a為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位），則a=（　　）

4．等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，
AB
=
a
，
BC
=
b
，則
a
?
b
的值為（　?。?/h2>

5．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列、數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，若a₃+a₆+a₉=6，b₂b₅b₈=8，則
a
4
+
a
8
b
1
b
9
的值是（　　）

6．函數(shù)y=（3^x-3^-x）cosx在區(qū)間[-
π
2
，
π
2
]的圖像大致為（　?。?/h2>

7．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ），
|

φ
|
＜
π
2
，那么“
|

φ
|
=
π
6
”是“f（x）在
[
-
π
6
，
π
6
]
上是增函數(shù)”的（　　）

三、解答題

20．已知函數(shù)f（x）=
lnx
+
a
x
+
1
．
（Ⅰ）若f'（1）=
1
4
，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞2時(shí)，
①求證：f（x）有唯一的極值點(diǎn)x₁；
②記f（x）的零點(diǎn)為x₀，是否存在a使得
x
1
x
0
≤e²？說明理由．