2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)向明中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共12題，滿分54分；第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．不等式

  1

  x

  ≤

  1

  的解集為

  ．
  組卷：82引用：13難度：0.7

  解析

• 2．復(fù)數(shù)z₁，z₂在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z₁（1，2），Z₂（-1，3），則z₁+z₂=

  ．
  組卷：56引用：2難度：0.8

  解析

• 3．已知

  a

  =

  （

  -

  2

  ，

  3

  ）

  ，

  b

  =

  （

  2

  ，-

  1

  ）

  ，則

  a

  ?

  b

  的值

  ．
  組卷：29引用：2難度：0.9

  解析

• 4．圓x²+y²-2x+y=0的圓心坐標(biāo)為

  ．
  組卷：43引用：2難度：0.7

  解析

• 5．已知圓錐的側(cè)面積為12π，母線長(zhǎng)為4，則該圓錐的底面半徑為

  ．
  組卷：40引用：2難度：0.8

  解析

• 6．已知

  tan

  α

  3

  =

  2

  ，則

  tan

  2

  α

  3

  =

  ．
  組卷：47引用：3難度：0.7

  解析

• 7．

  （

  x

  +

  1

  x

  2

  ）

  9

  的二項(xiàng)展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是

  （用數(shù)字作答）．
  組卷：619引用：11難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分，以下各題需寫(xiě)出必要的解題步驟）

• 20．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C₁：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ）

  和曲線C₂：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  2

  =

  1

  有公共點(diǎn)，直線l₁：y=k₁x+b₁與曲線C₁的左支相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M．
  （1）若曲線C₁和C₂有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，求曲線C₁的離心率和漸近線方程．
  （2）若a=2，直線l₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-3），且

  |

  AB

  |

  =

  4

  6

  7

  ，求直線l₁的方程．
  （3）若直線l₂：y=k₂x+b₂與曲線C₂相交于C、D兩點(diǎn)，且直線OM經(jīng)過(guò)線段CD中點(diǎn)N，求證：

  k

  2

  1

  +

  k

  2

  2

  ＞

  1

  ．
  組卷：58引用：1難度：0.5

  解析

• 21．九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，斑斕奪目的數(shù)學(xué)知識(shí)中函數(shù)尤為耀眼，加上數(shù)列知識(shí)的加持，猶如錦上添花．下面讓我們通過(guò)下面這題來(lái)體會(huì)函數(shù)與數(shù)列之間的聯(lián)系．已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  +

  1

  x

  ，g（x）=f（x）-x.
  （1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
  （2）若數(shù)列

  a

  n

  =

  e

  n

  （e為自然底數(shù)），b_n=f（a_n），S_n=b₁+b₃+b₅+…+b_2n-1，

  T

  n

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  b

  2

  i

  ，i,n∈N^*，求使得不等式：en²+S_n＞eT_n成立的正整數(shù)n的取值范圍；
  （3）數(shù)列{c_n}滿足0＜c₁＜1，c_n+1=f（c_n），n∈N^*．證明：對(duì)任意的n∈N^*，

  g

  （

  c

  n

  +

  1

  -

  c

  n

  +

  2

  c

  n

  +

  2

  -

  c

  n

  +

  3

  ）

  ＜

  0

  ．
  組卷：73引用：5難度：0.3

  解析