23.尺規(guī)作圖之旅:如圖1是一副純手繪的畫作,其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī),在數(shù)學中,我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造出許多帶有美感的圖形.尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學課題,只允許使用圓規(guī)和直尺,來解決平面幾何作圖問題.
(1)還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個問題嗎?那就是“作一條線段等于已知線段”,接著,我們學習了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線,作角平分線…而這些尺規(guī)作圖的背后都與我們學習的數(shù)學原理密切相關,下面是用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法及說理,請補全過程.
已知:如圖2,∠AOB,
求作:∠A′O′B′使∠A′O′B′=∠AOB.
作法:①如圖,以O為圓心,以
為半徑畫弧,分別交OA,OB于點C,D;
②畫一條射線O′A′,以點O′為圓心,以
長為半徑畫弧,交O′A′于點C′;
③以
為圓心,以
長為半徑畫弧,交前面的弧于點D′,
④作射線O′B′,∠A′O′B′就是所求作的角.
(2)如圖3,4,過點D′畫射線O′B′,則∠A′O′B′=∠AOB,
說理:由作法得已知:OC=O′C′,OD=O′D′,CD=C′D′,
求證:∠A′O′B′=∠AOB,
證明:∵
,
∴△OCD≌△O′C′D′.(
)
所以∠A′O′B′=∠AOB.(
)
(3)(小試牛刀)請按照上面的范例,完成尺規(guī)作圖:①在圖2中畫出∠AOB的角平分線;
②在圖5中直線上找到一點P,使它到點A,點B的距離相等.