2023-2024學(xué)年江蘇省常熟市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

• 1．設(shè)S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若a₂+a₅+a₈=18，則S₉=（　　）

  A．36

  B．45

  C．54

  D．63
  組卷：392引用：7難度：0.7

  解析

• 2．圓x²+y²-2x=0的圓心到直線2x+y-1=0的距離為（　　）

  A．0

  B．1

  C． 3 3

  D． 5 5
  組卷：80引用：1難度：0.9

  解析

• 3．數(shù)列{a_n}中，

  a

  n

  =

  1

  n

  +

  n

  +

  1

  ，S_n=8，則n=（　?。?/h2>

  A．77

  B．78

  C．79

  D．80
  組卷：149引用：2難度：0.6

  解析

• 4．直線l₁：ax+3y+a²-5=0，l₂：x+（a-2）y+4=0，若兩條直線平行，則實(shí)數(shù)a=（　?。?/h2>

  A．-1

  B．1

  C．3

  D．-1或3
  組卷：40引用：6難度：0.8

  解析

• 5．若直線l：kx-y-1=0與曲線

  C

  ：

  1

  -

  （

  y

  -

  1

  ）

  2

  =

  x

  -

  1

  有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　?。?/h2>

  A． （ 3 4 ， 1 ]	B． （ 3 4 ， 3 ）
  C． [ - 1 ，- 3 4 ] ∪ （ 3 4 ， 1 ]	D． （ 3 4 ， + ∞ ）
  組卷：91引用：3難度：0.5

  解析

• 6．數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）、重心（三邊中線的交點(diǎn)）、垂心（三邊高的交點(diǎn)）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)為A（0，0），B（5，0），C（2，4），則該三角形的歐拉線方程為（　?。?/h2>

  A．x+2y-5=0

  B．x-2y-5=0

  C．2x+y-10=0

  D．2x-y-10=0
  組卷：730引用：10難度：0.5

  解析

• 7．已知a₁=1，a₂=1，a_n=a_n-1+2a_n-2+1（n≥3，n∈N^*），S_n為其前n項(xiàng)和，則S₆₀=（　?。?/h2>

  A．230-31

  B．430-31

  C．230-30

  D．430-30
  組卷：104引用：4難度：0.5

  解析

四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

• 21．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為A_n，且

  A

  n

  =

  n

  （

  a

  1

  +

  a

  n

  ）

  2

  ，數(shù)列{b_n}是公比為q的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和記為B_n．若a₁=b₁≠0，且存在不小于3的正整數(shù)m,k,使得a_k=b_m．
  （1）若a₁=1，a₃=5，求a₂的值；
  （2）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
  （3）若q=2，是否存在正整數(shù)m,k,使得A_k=65B_m？若存在，求出m,k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：58引用：2難度：0.3

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• 22．已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，4），端點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線C，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是（x-4）²+（y-2）²=1．
  （1）求曲線C的方程；
  （2）已知斜率為k的直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)（異于原點(diǎn)O）直線OE，OF的斜率分別為k₁，k₂，且k₁k₂=5，
  ①證明：直線l過(guò)定點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
  ②若BD⊥EF，D為垂足，證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．
  組卷：96引用：2難度：0.5

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