2023-2024學年河北省衡水十三中高三（上）開學數(shù)學試卷

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

• 1．已知函數(shù)y=x²+2（a-1）+2在（-∞，4）上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

  A．[3，+∞）

  B．（-∞．-3]

  C．[-3，+∞）

  D．（-∞，3]
  組卷：160引用：3難度：0.8

  解析
• 2．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  - x 2 + 2 ax - 1 ， x ＜ 2

  lo g a （ x - 1 ） + 2 a , x ≥ 2

  ，則“a≥2”是“f（x）在R上單調遞增”的（　　）

  A．充要條件	B．充分不必要條件
  C．必要不充分條件	D．既不充分又不必要條件
  組卷：76引用：8難度：0.6

  解析
• 3．如是函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  a

  x

  b

  （

  a

  ∈

  R

  ，

  b

  ∈

  N

  *

  ）

  的部分圖象，則（　?。?/div>

  A．a＞0，b是奇數(shù)	B．a＜0，b是奇數(shù)
  C．a＞0，b是偶數(shù)	D．a＜0，b是偶數(shù)
  組卷：15引用：3難度：0.7

  解析
• 4．國家新能源車電池衰減規(guī)定是在質保期內，電池的性能衰減不能超過20%，否則由廠家免費為車主更換電池．某品牌新能源車動力電池容量測試數(shù)據(jù)顯示：電池的性能平均每年的衰減率為1.5%，該品牌設置的質保期至多為（　　）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg985≈2.9934）

  A．12年

  B．13年

  C．14年

  D．15年
  組卷：148引用：12難度：0.7

  解析
• 5．沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時．如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm,細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的

  2

  3

  （細管長度忽略不計）．假設該沙漏每秒鐘漏下0.02cm³的沙，且細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆．以下結論正確的是（　?。?/div>

  A．沙漏中的細沙體積為 1024 π 81 cm3

  B．沙漏的體積是128πcm3

  C．細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cm

  D．該沙漏的一個沙時大約是1985秒（π≈3.14）
  組卷：66引用：5難度：0.4

  解析
• 6．已知函數(shù)f（x），f（x+2）均為偶函數(shù)，且當x∈[0，2]時，f（x）是減函數(shù)，設a=f（log₈

  1

  2

  ），b=f（7.5），c=f（-5），則a、b、c的大小關系是（　?。?/div>

  A．b＞a＞c

  B．a＞c＞b

  C．a＞b＞c

  D．c＞a＞b
  組卷：19引用：9難度：0.9

  解析
• 7．如圖扇形AOB所在圓的圓心角大小為

  2

  π

  3

  ，P是扇形內部（包括邊界）任意一點，若

  OP

  =

  x

  OA

  +

  y

  OB

  ，那么2x+y的最大值是（　?。?/div>

  A． 3 3 2

  B．3

  C． 2 21 3

  D． 7
  組卷：177引用：3難度：0.6

  解析

四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，離心率

  e

  =

  2

  2

  ，它的長軸長等于圓x²+y²-2x+4y-3=0的直徑．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）若過點

  P

  （

  0

  ，-

  2

  3

  ）

  的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在定點Q，使得以AB為直徑的圓經過這個定點，若存在，求出定點Q的坐標；若不存在，請說明理由？
  組卷：199引用：2難度：0.3

  解析
• 22．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=f（x）+ae^x，其中a∈R．
  （1）求過點（-1，-1）且與函數(shù)f（x）的圖象相切的直線方程；
  （2）①求證：當x＞0時，

  e

  x

  ＞

  1

  +

  x

  +

  x

  2

  2

  ；
  ②若函數(shù)g（x）有兩個不同的零點x₁，x₂，求證：

  |

  x

  2

  -

  x

  1

  |

  ＜

  2

  1

  a

  2

  +

  2

  a

  -

  1

  ．
  組卷：98引用：3難度：0.1

  解析