蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《第3章 圓錐曲線與方程》2023年單元測試卷（3）

一、選擇題

• 1．設(shè)P為橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）上一點(diǎn)，兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，如果∠PF₁F₂=75°，∠PF₂F₁=15°，則橢圓的離心率為（　?。?/div>

  A． 6 3

  B． 3 3

  C． 6 2

  D． 3 2
  組卷：200引用：9難度：0.7

  解析
• 2．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個公共點(diǎn)，且|PF₁|＞|PF₂|，線段PF₁的垂直平分線過F₂，若橢圓的離心率為e₁，雙曲線的離心率為e₂，則

  2

  e

  1

  +

  e

  2

  2

  的最小值為（　?。?/div>

  A． 6

  B．3

  C．6

  D． 3
  組卷：803引用：34難度：0.7

  解析
• 3．定義焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線為一對相關(guān)曲線．已知F₁，F(xiàn)₂是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，P是這對相關(guān)曲線在第一象限的交點(diǎn)，則點(diǎn)P與以F₁F₂為直徑的圓的位置關(guān)系是（　?。?/div>

  A．在圓外

  B．在圓上

  C．在圓內(nèi)

  D．不確定
  組卷：45引用：4難度：0.6

  解析
• 4．存在過橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  左焦點(diǎn)F₁的弦MN，使得

  |

  MN

  |

  =

  a

  2

  ，則橢圓C的離心率的最小值是（　?。?/div>

  A． 1 2

  B． 2 2

  C． 3 3

  D． 3 2
  組卷：23引用：2難度：0.5

  解析
• 5．設(shè)橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是橢圓上一點(diǎn)，|PF₁|=λ|PF₂|（

  1

  2

  ≤λ≤2），∠F₁PF₂=

  π

  2

  ，則橢圓離心率的取值范圍為（　?。?/div>

  A．（0， 2 2 ]

  B．[ 2 2 ， 5 3 ]

  C．[ 2 3 ， 5 3 ]

  D．[ 5 3 ，1）
  組卷：88引用：11難度：0.7

  解析

三、解答題

• 14．已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)P是圓C：（x+1）²+y²=8上的任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線與直線CP交于點(diǎn)E．
  （1）求點(diǎn)E的軌跡方程；
  （2）若直線y=kx+m與點(diǎn)E的軌跡有兩個不同的交點(diǎn)P和Q，且原點(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
  組卷：70引用：8難度：0.3

  解析
• 15．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  與拋物線M：y²=4x有公共的焦點(diǎn)，且拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長為3．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）過橢圓C的右焦點(diǎn)作一條斜率為k（k≠0）的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E，P為弦AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線OP的垂線交OP于點(diǎn)Q，問是否存在一定點(diǎn)H，使得QH的長度為定值？若存在，則求出點(diǎn)H，若不存在，請說明理由．
  組卷：226引用：5難度：0.5

  解析