2022年湖北省武漢中學自主招生數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共6小題，每小題5分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．已知x²-5x-2022=0，則代數(shù)式

  （

  x

  -

  2

  ）

  4

  +

  （

  x

  -

  1

  ）

  2

  -

  1

  （

  x

  -

  1

  ）

  （

  x

  -

  2

  ）

  的值為（　?。?/div>

  A．2021

  B．2024

  C．2027

  D．2030
  組卷：262引用：2難度：0.7

  解析
• 2．如圖，扇形OAB中，∠AOB=110°，OA=18，C是OB的中點，CD⊥OB交

  ?

  AB

  于點D，以OC為半徑的

  ?

  CE

  交OA于點E，則圖中陰影部分的面積是（　?。?/div>

  A． 12 π + 18 3

  B． 81 （ 3 + 2 π ） 2

  C． 81 （ 2 3 + π ） 4

  D． 6 π + 36 3
  組卷：120引用：4難度：0.5

  解析
• 3．2022年5月將迎來中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年．武漢中學學工部將舉行“青春有我，創(chuàng)武中明星班級”活動．學校安排高一3個班和高二2個班開展主題活動課，并隨機從中抽兩個班開放展示活動，則抽到高一、高二各1個班的概率是（　?。?/div>

  A． 1 2

  B． 1 5

  C． 2 3

  D． 3 5
  組卷：32引用：2難度：0.5

  解析
• 4．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=8，BC=4，動點P以每秒2個單位的速度從點A沿線段AB向B點運動，同時動點Q以每秒3個單位的速度從點B出發(fā)沿B-C-D的方向運動，當點Q到達點D時P、Q同時停止運動，若記△PQA的面積為y,運動時間為x,則下列圖象中能大致表示y與x之間函數(shù)關系圖象的是（　?。?/div>

  A．

  B．

  C．

  D．
  組卷：731引用：8難度：0.7

  解析

三、解答題：本題共4小題，共50分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 13．四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，點E在BC邊上運動（不與C重合），點F在CD上運動，且∠AEF=∠ACD．
  （1）若AB=BC=CA，判斷AE與EF的數(shù)量關系；
  （2）若AB=BC，你在（1）中得到的結論是否會發(fā)生變化？寫出猜想并給出證明；
  （3）若AB=AC=5，

  sin

  ∠

  BAC

  =

  4

  5

  ，∠BAC為銳角，設EF=t,當E，F(xiàn)運動時，求t的取值范圍．
  組卷：72引用：2難度：0.5

  解析
• 14．定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖1，拋物線C₁與拋物線C₂組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C₁與拋物線C₂與x軸有相同的交點M，N（點M在點N的左側），與y軸的交點分別為A，B且點A的坐標為（0，-3），拋物線C₂的解析式為y=mx²+4mx-12m（m＞0）．
  
  （1）求M，N兩點的坐標；
  （2）在第三象限內(nèi)的拋物線C₁上是否存在一點P，使得△PAM的面積最大？若存在，求出△PAM的面積的最大值；若不存在，說明理由；
  （3）如圖2，若有一組成“月牙線”的拋物線C₃，C₄它們的解析式分別為C₃：

  y

  =

  -

  1

  8

  x

  2

  +

  1

  ，C₄：

  y

  =

  -

  1

  4

  x

  2

  ，P′為y軸上一點，過P′任意作一射線分別交C₃和C₄于N′，M′兩點，過M′作直線y=1的垂線，垂足為G，過N′作直線y=3的垂線，垂足為H，是否存在這樣的點P′，使P′M′=M′G，P′N′=N′H恒成立？若存在，求出點P′的坐標，并探究

  P

  ′

  M

  ′

  P

  ′

  N

  ′

  是否為定值，說明理由．
  組卷：213引用：2難度：0.1

  解析