2022-2023學(xué)年上海市楊浦區(qū)同濟(jì)大學(xué)一附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（1—6題每小題4分，7—12每小題4分，滿分54分）

• 1．若

  sinα

  =

  1

  3

  ，α是第二象限角，則cosα=

  ．
  組卷：69引用：2難度：0.9

  解析

• 2．已知

  a

  =（2，-1，3），

  b

  =（-4，2，x），且

  a

  ∥

  b

  ，則x=

  ．
  組卷：116引用：11難度：0.7

  解析

• 3．若復(fù)數(shù)z=（1+mi）（2-i）（i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為

   

  ．
  組卷：257引用：6難度：0.9

  解析

• 4．計(jì)算

  +

  ∞

  ∑

  i

  =

  1

  （

  2

  3

  ）

  i

  =

  ．
  組卷：187引用：6難度：0.7

  解析

• 5．已知f（x）=cos2x,則f′（x）=

  ．
  組卷：128引用：4難度：0.9

  解析

• 6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為

   

  石（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字）
  組卷：243引用：5難度：0.7

  解析

• 7．已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  1

  x

  ，則

  lim

  h

  →

  0

  f

  （

  2

  +

  h

  ）

  -

  f

  （

  2

  ）

  h

  =

  ．
  組卷：333引用：3難度：0.7

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三、解答題（滿分76分）

• 20．已知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點(diǎn)P滿足|PF₁|-|PF₂|=2，記點(diǎn)P的軌跡為Γ．斜率為k的直線l過(guò)點(diǎn)F₂，且與軌跡Γ相交于A，B兩點(diǎn)．
  （1）求軌跡Γ的方程；
  （2）求斜率k的取值范圍；
  （3）在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得無(wú)論直線l繞點(diǎn)F₂怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，總有MA⊥MB成立？如果存在，求出定點(diǎn)M；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：107引用：2難度：0.3

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• 21．設(shè)常數(shù)t＞2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F（2，0），直線l：x=t,曲線Γ：y²=8x（0≤x≤t,y≥0）．l與x軸交于點(diǎn)A、與Γ交于點(diǎn)B．P、Q分別是曲線Γ與線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．
  （1）用t表示點(diǎn)B到點(diǎn)F的距離；
  （2）設(shè)t=3，|FQ|=2，線段OQ的中點(diǎn)在直線FP上，求△AQP的面積；
  （3）設(shè)t=8，是否存在以FP、FQ為鄰邊的矩形FPEQ，使得點(diǎn)E在Γ上？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
  組卷：1808引用：6難度：0.3

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