2023-2024學(xué)年湖南省長沙市周南中學(xué)高三（上）第二次段考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．已知集合M={x∈Z|x²-3x-4≤0}，N={x|0＜x≤3}，則M∩N=（　?。?/div>

  A．{-1，0，1，2，3}

  B．{1，2，3}

  C．（0，3]

  D．[-1，4]
  組卷：639引用：7難度：0.8

  解析
• 2．已知復(fù)數(shù)z₁，z₂是方程x²-2x+5=0的兩個虛根，則|z₁-z₂|為（　?。?/div>

  A．4

  B．2

  C．0

  D． 5
  組卷：27引用：2難度：0.7

  解析
• 3．在△ABC中，M是AC邊上一點，且

  AM

  =

  2

  MC

  ，若

  BM

  =

  x

  BA

  +

  y

  BC

  ，則y的值為（　?。?/div>

  A． - 1 3

  B． 1 3

  C． - 2 3

  D． 2 3
  組卷：59引用：3難度：0.8

  解析
• 4．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，

  a

  n

  +

  1

  =

  1

  +

  a

  n

  1

  -

  a

  n

  ，則a₂₀₂₄的值為（　?。?/div>

  A．2

  B．-3

  C． - 1 2

  D． 1 3
  組卷：201引用：3難度：0.8

  解析
• 5．函數(shù)y=（x³-x）?3^|x|的圖象大致是（　?。?/div>

  A．

  B．

  C．

  D．
  組卷：346引用：8難度：0.8

  解析
• 6．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=60°，則將菱形ABCD以其中一條邊所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為（　　）

  A．2π

  B．6π

  C． 4 3 π

  D．8π
  組卷：98引用：3難度：0.7

  解析
• 7．已知

  sin

  （

  α

  -

  π

  6

  ）

  +

  cosα

  =

  3

  5

  ，則

  cos

  （

  2

  α

  +

  π

  3

  ）

  =（　?。?/div>

  A． - 7 25

  B． 7 25

  C． - 24 25

  D． 24 25
  組卷：1016引用：15難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．2020年1月15日教育部制定出臺了《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作的意見》（也稱“強基計劃”），《意見》宣布：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實行強基計劃，強基計劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，據(jù)悉強基計劃的?？加稍圏c高校自主命題，校考過程中通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié)．
  （1）為了更好的服務(wù)于高三學(xué)生，某研究機構(gòu)對隨機抽取的5名高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得到如表數(shù)據(jù)．
  

  x	6	8	9	10	12
  y	2	3	4	5	6

  請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型進行擬合，并求y關(guān)于x的線性回歸方程

  ?

  y

  =

  ?

  a

  +

  ?

  b

  x.
  （2）現(xiàn)有甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若某考生報考甲大學(xué)，每門筆試科目通過的概率均為

  2

  5

  ，該考生報考乙大學(xué)，每門筆試科目通過的概率依次為m,

  1

  4

  ，

  2

  3

  ，其中0＜m＜1，根據(jù)規(guī)定每名考生只能報考強基計劃的一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，求該考生更希望通過乙大學(xué)筆試時m的取值范圍．
  參考公式：
  ①線性相關(guān)系數(shù)r=

  n

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  y

  i

  -

  n

  x

  ?

  y

  （

  n

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  2

  -

  n

  x

  2

  ）

  （

  n

  ∑

  i

  =

  1

  y

  i

  2

  -

  n

  y

  2

  ）

  ，一般地，相關(guān)系數(shù)r的絕對值在0.95以上（含0.95）認為線性相關(guān)性較強；否則，線性相關(guān)性較弱．
  ②對于一組數(shù)據(jù)（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回歸直線方程

  ?

  y

  =

  ?

  b

  x

  +

  ?

  a

  的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：

  ?

  b

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  y

  i

  -

  n

  x

  ?

  y

  n

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  2

  -

  n

  x

  2

  ，

  ?

  a

  =

  y

  -

  ?

  b

  x

  ．
  組卷：393引用：5難度：0.5

  解析
• 22．已知函數(shù)f（x）=lnx-（m-1）x+1．
  （1）若f（x）存在極值，求m的取值范圍；
  （2）若m=0，已知方程

  f

  （

  x

  e

  ax

  ）

  =

  2

  有兩個不同的實根x₁，x₂，a∈R，證明：

  x

  1

  +

  x

  2

  ＞

  2

  eln

  1

  a

  ．（其中e≈2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)）
  組卷：101引用：3難度：0.2

  解析