2017-2018學(xué)年上海交大附中高三（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、填空題：第1題至第6題，每題4分第7題至12題，每小題4分，共54分）.

• 1．已知a是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，若z=a²-1+（a+1）i是純虛數(shù)，則a=

  ．
  組卷：630引用：7難度：0.7

  解析

• 2．已知二元一次方程組

  a 1 x + b 1 y = c 1

  a 2 x + b 2 y = c 2

  的增廣矩陣是

  1	- 1	1
  1	1	3

  ，則此方程組的解是

  ．
  組卷：120引用：9難度：0.9

  解析

• 3．為了普及環(huán)保知識，增強(qiáng)環(huán)保意識，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分（10分制）的頻數(shù)分布統(tǒng)計圖如圖所示，如果得分值的中位數(shù)為a,眾數(shù)為b,平均數(shù)為c,則a、b、c中的最大者是

   

  ．
  組卷：267引用：2難度：0.7

  解析

• 4．命題：“若a,b,c成等比數(shù)列，則b²=ac”及其逆命題、否命題、逆否命題中正確的個數(shù)是

  ．
  組卷：76引用：6難度：0.9

  解析

• 5．已知正數(shù)a,b滿足4a+b=30，使得

  1

  a

  +

  4

  b

  取最小值的實數(shù)對（a,b）是

   

  ．
  組卷：534引用：4難度：0.5

  解析

• 6．不等式x|x-1|＞0的解集為

   

  ．
  組卷：208引用：3難度：0.9

  解析

• 7．已知f（x+1）=（x-1）²（x≤1），則f^-1（x+1）=

  ．
  組卷：128引用：3難度：0.9

  解析

三、解答題：本大題共5小題，共48分．解答寫出文字說明、證明過程或演算過程．

• 20．已知O為坐標(biāo)原點，圓M：（x+1）²+y²=16，定點F（1，0），點N是圓M上一動點，線段NF的垂直平分線交圓M的半徑MN于點Q，點Q的軌跡為E．
  （1）求曲線E的方程；
  （2）已知點P是曲線E上但不在坐標(biāo)軸上的任意一點，曲線E與y軸的交點分別為B₁、B₂，直線B₁P和B₂P分別與x軸相交于C、D兩點，請問線段長之積|OC|?|OD|是否為定值？如果是請求出定值，如果不是請說明理由；
  （3）在（2）的條件下，若點C坐標(biāo)為（-1，0），過點C的直線l與E相交于A、B兩點，求△ABD面積的最大值．
  組卷：591引用：4難度：0.1

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• 21．設(shè)f（x）是定義在[a,b]上的函數(shù)，若存在x∈（a,b），使得f（x）在[a,x]單調(diào)遞增，在[x,b]上單調(diào)遞減，則稱f（x）為[a,b]上的單峰函數(shù)，x為峰點，包含峰點的區(qū)間稱為含峰區(qū)間，其含峰區(qū)間的長度為：b-a.
  （1）判斷下列函數(shù)中，哪些是“[0，1]上的單峰函數(shù)”？若是，指出峰點；若不是，說出原因：
  f₁（x）=x-2x²，f₂（x）=1-|2x-1|，f₃（x）=|log₂（x+

  1

  2

  ）|，f₄（x）=sin4x；
  （2）若函數(shù)f（x）=ax³+x（a＜0）是[1，2]上的單峰函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
  （3）若函數(shù)f（x）區(qū)間[0，1]上的單峰函數(shù)，證明：對于任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），則 （0，x₂）為含峰區(qū)間；若f（x₁）≤f（x₂），則（x₁，1）為含峰區(qū)間；試問當(dāng)x₁，x₂滿足何種條件時，所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.6．
  組卷：294引用：1難度：0.1

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