2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

• 1．已知復(fù)數(shù)z=（1-i）+λ（1+i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)λ=（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．0

  D．1
  組卷：43引用：5難度：0.8

  解析

• 2．已知集合A={（x,y）|x=y}，B={（x,y）|y=8-x}，則A∩B=（　　）

  A．{4}	B．{（4，4）}
  C．{1，4}	D．{（1，1），（4，4）}
  組卷：135引用：4難度：0.8

  解析

• 3．已知x∈R，則x≥1且y≥4是x+y≥5且xy≥4成立的（　?。?/h2>

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分又不必要條件
  組卷：204引用：3難度：0.9

  解析

• 4．有一個(gè)人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對(duì)立事件是（　?。?/h2>

  A．至多有1次中靶	B．2次都中靶
  C．2次都不中靶	D．只有1次中靶
  組卷：806引用：31難度：0.9

  解析

• 5．已知樣本數(shù)據(jù)x₁，x₂，…，x₂₀₂₂的平均數(shù)和方差分別為3和56，若y_i=2x_i+3（i=1，2，…，2022），則y₁，y₂，…，y₂₀₂₂的平均數(shù)和方差分別是（　?。?/h2>

  A．12，115

  B．12，224

  C．9，115

  D．9，224
  組卷：341引用：4難度：0.9

  解析

• 6．某中學(xué)舉行了一次“網(wǎng)絡(luò)信息安全”知識(shí)競(jìng)賽，將參賽的100名學(xué)生成績(jī)分為6組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，則成績(jī)?cè)趨^(qū)間[75，80）內(nèi)的學(xué)生有（　?。?/h2>

  A．15名

  B．20名

  C．25名

  D．40名
  組卷：132引用：4難度：0.7

  解析

• 7．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，則

  22

  ∑

  k

  =

  1

  f（k）=（　　）

  A．-3

  B．-2

  C．0

  D．1
  組卷：5229引用：14難度：0.5

  解析

四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

• 21．某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域ABCD內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在E處按

  EP

  方向釋放機(jī)器人甲，同時(shí)在A處按

  AQ

  方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在M處成功攔截機(jī)器人甲，兩機(jī)器人停止運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)M在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗．已知AB=6米，E為AB中點(diǎn)，比賽中兩機(jī)器人均勻速直線運(yùn)動(dòng)方式行進(jìn)，記

  EP

  與

  EB

  的夾角為θ（0＜θ＜π），

  AQ

  與

  AB

  的夾角為α（

  0

  ＜

  α

  ＜

  π

  2

  ）．
  （1）若兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向的夾角為

  π

  3

  ，AD足夠長(zhǎng)，機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功，求兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路程和的最大值；
  （2）已知機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍．
  （?。┤?div id="2ahqu8s" class="MathJye" mathtag="math">

  θ

  =

  π

  3

  ，AD足夠長(zhǎng)，機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功，求sinα．
  （ⅱ）如何設(shè)計(jì)矩形區(qū)域ABCD的寬AD的長(zhǎng)度，才能確保無論θ的值為多少，總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度α使機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功？