2022-2023學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市恒昌中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題5分，共8小題40分）

• 1．橢圓

  x

  2

  16

  +

  y

  2

  25

  =

  1

  上點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為（　?。?/div>

  A．6

  B．3

  C．4

  D．2
  組卷：7引用：4難度：0.7

  解析
• 2．直線l的一個(gè)方向向量為（4，2，3），平面α的一個(gè)法向量為（2，1，t），若l⊥α，則實(shí)數(shù)t=（　　）

  A． 3 2

  B．1

  C．-2

  D． - 8 3
  組卷：23引用：3難度：0.7

  解析
• 3．直線（a-1）x-（a+1）y+2=0恒過定點(diǎn)（　　）

  A．（1，1）

  B．（1，-1）

  C．（-1，1）

  D．（-1，-1）
  組卷：1005引用：4難度：0.7

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• 4．唐代詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題--“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為A（1，1），若將軍從山腳下的點(diǎn)B（4，4）處出發(fā)，河岸線所在直線l的方程為x-y+1=0，則“將軍飲馬”的最短總路程是（　?。?/div>

  A．3 6

  B． 34

  C． 5

  D．2 5
  組卷：207引用：4難度：0.7

  解析
• 5．已知圓C：x²+y²+2x+4y+4=0，則圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為（　　）

  A． 5

  B．6

  C． 5 - 1

  D． 5 + 1
  組卷：28引用：2難度：0.6

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• 6．如圖所示，在四面體O-ABC中，

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，點(diǎn)M在OA上，且

  OM

  =2

  MA

  ，N為BC的中點(diǎn)，則

  MN

  =（　?。?/div>

  A． 1 2 a - 2 3 b + 1 2 c	B．- 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c
  C． 1 2 a + 1 2 b - 2 3 c	D． 2 3 a + 2 3 b - 1 2 c
  組卷：1185引用：36難度：0.9

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• 7．如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐?金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的右支與y軸及平行于x軸的兩條直線圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為

  10

  3

  3

  ，下底座外直徑為

  2

  39

  3

  ，且杯身最細(xì)之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，則杯身最細(xì)之處的周長(zhǎng)為（　?。?/div>

  A．2 2 π

  B．3π

  C．2 3 π

  D．4π
  組卷：99引用：4難度：0.6

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四、解答題（第17小題10分，第18-22小題，每小題10分，共6小題70分）

• 21．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，

  AB

  =

  AD

  =

  1

  2

  CD

  ，AB⊥AD，AB∥CD，點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，
  （1）求平面PBC與平面BCD夾角的余弦值；
  （2）在線段PB上是否存在一點(diǎn)N，使得DN⊥平面PBC？若存在，求出

  PN

  PB

  的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：3引用：2難度：0.5

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• 22．如圖，已知橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的離心率為

  2

  2

  ，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4（

  2

  +1），一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
  （Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （Ⅱ）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁?k₂=1；
  （Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：1679引用：31難度：0.1

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