2023-2024學(xué)年上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12小題，滿(mǎn)分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)位置填寫(xiě)結(jié)果．

• 1．用集合符號(hào)表述語(yǔ)句“平面α經(jīng)過(guò)直線l”：

  ．
  組卷：82引用：5難度：0.8

  解析

• 2．橢圓

  x

  2

  2

  +

  y

  2

  6

  =

  1

  的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

  ．
  組卷：37引用：4難度：0.7

  解析

• 3．雙曲線

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  =

  1

  的兩條漸近線的直線方程是

  ．
  組卷：58引用：1難度：0.9

  解析

• 4．過(guò)圓x²+y²=5上一點(diǎn)M（1，2）的圓的切線方程為

   

  ．
  組卷：29引用：6難度：0.5

  解析

• 5．已知空間中兩個(gè)角α，β，且角α與角β的兩邊分別平行，若α=70°，則β=

  ．
  組卷：14引用：5難度：0.7

  解析

• 6．如圖是水平放置的△AOB的斜二測(cè)直觀圖，其中O′B′=2，∠A′B′O′=90°，則在△AOB中，AB=

  ．
  組卷：34引用：3難度：0.7

  解析

• 7．已知△ABC所在平面外一點(diǎn)P，且PA，PB，PC兩兩垂直，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影應(yīng)為△ABC的

  心．
  組卷：215引用：2難度：0.6

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟．

• 20．已知以F（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線C₁的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C₁的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C₁的兩條切線PA、PB，其中A、B為切點(diǎn)，設(shè)直線PA、PB的斜率分別為k₁、k₂．
  （1）求拋物線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （2）若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，計(jì)算k₁?k₂的值；
  （3）求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．
  組卷：121引用：1難度：0.6

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• 21．17世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰設(shè)計(jì)了多種圓錐曲線規(guī)，其中的一種如圖1所示．四根等長(zhǎng)的桿用鉸鏈?zhǔn)孜叉溄?，?gòu)成菱形LF₂KQ．帶槽桿QF₁長(zhǎng)為

  2

  2

  ，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂間的距離為2，轉(zhuǎn)動(dòng)桿QF₁一周的過(guò)程中始終有|QE|=|EF₂|．點(diǎn)M在線段F₁F₂的延長(zhǎng)線上，且|MF₂|=1．
  （1）建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)E的軌跡Γ的方程；
  （2）過(guò)點(diǎn)F₂的直線l₁與Γ交于A，B兩點(diǎn)．記直線MA，MB的斜率為k₁，k₂，證明：k₁+k₂為定值；
  （3）過(guò)點(diǎn)M作直線l₂垂直于直線F₁F₂，在l₂上任取一點(diǎn)N，對(duì)于（2）中的A，B兩點(diǎn)，試證明：直線NA，NF₂，NB的斜率成等差數(shù)列．
  組卷：205引用：3難度：0.1

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