人教A版（2019）選擇性必修第二冊《4.4 數(shù)學(xué)歸納法》2021年同步練習(xí)卷（4）

一．選擇題（共8小題）

• 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）時，從n=k到n=k+1等式左邊需增添的項(xiàng)是（　?。?/h2>

  A．2k+2	B．[2（k+1）+1]
  C．[（2k+2）+（2k+3）]	D．[（k+1）+1][2（k+1）+1]
  組卷：350引用：7難度：0.7

  解析

• 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“（3n+1）?7ⁿ-1（n∈N^*）能被9整除”，在假設(shè)n=k時命題成立之后，需證明n=k+1時命題也成立，這時除了用歸納假設(shè)外，還需證明的是余項(xiàng)（　?。┠鼙?整除．

  A．3×7k+6

  B．3×7k+1+6

  C．3×7k-3

  D．3×7k+1-3
  組卷：158引用：3難度：0.6

  解析

• 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）（n∈N*）時，從“n=k到n=k+1”等式左邊的變化結(jié)果是（　?。?/h2>

  A．增乘一個因式（2k+1）

  B．增乘兩個因式（2k+1）和（2k+2）

  C．增乘一個因式2（2k+1）

  D．增乘（2k+1）同時除以（k+1）
  組卷：207引用：5難度：0.7

  解析

• 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

  1

  n

  +

  1

  +

  1

  n

  +

  2

  +

  …

  +

  1

  n

  +

  n

  ＞

  13

  14

  的過程中，由n=k遞推到n=k+1時，不等式左邊（　　）

  A．增加了 1 2 （ k + 1 ）

  B．增加了 1 2 k + 1 + 1 2 k + 2

  C．增加了 1 2 （ k + 1 ） - 1 k + 1

  D．增加了 1 2 k + 1 + 1 2 k + 2 - 1 k + 1
  組卷：395引用：8難度：0.5

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• 5．對于不等式

  n

  2

  +

  2

  n

  ＜n+2（n∈N*），某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：
  ①當(dāng)n=1時，

  1

  2

  +

  2

  ＜1+2，不等式成立．
  ②假設(shè)當(dāng)n=k（n∈N*）時，不等式成立，即

  k

  2

  +

  2

  k

  ＜k+2，則當(dāng)n=k+1時，

  （

  k

  +

  1

  ）

  2

  +

  2

  （

  k

  +

  1

  ）

  =

  k

  2

  +

  4

  k

  +

  3

  ＜

  （

  k

  2

  +

  4

  k

  +

  3

  ）

  +

  （

  2

  k

  +

  6

  ）

  =

  （

  k

  +

  3

  ）

  2

  =（k+1）+2．
  故當(dāng)n=k+1時，不等式成立．則上述證法（　?。?/h2>

  A．過程全部正確

  B．n=1的驗(yàn)證不正確

  C．n=k的歸納假設(shè)不正確

  D．從n=k到n=k+1的推理不正確
  組卷：211引用：5難度：0.6

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三．解答題（共4小題）

• 15．在數(shù)列{a_n}中，

  a

  1

  =

  1

  2

  ，

  a

  n

  +

  1

  =

  3

  a

  n

  a

  n

  +

  3

  ．
  （1）求出a₂，a₃并猜想a_n的通項(xiàng)公式；
  （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．
  組卷：538引用：4難度：0.4

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• 16．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，

  S

  n

  =

  a

  n

  （

  a

  n

  +

  1

  ）

  2

  ．
  （1）計(jì)算a₁，a₂，a₃，猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
  （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
  （3）證明不等式

  1

  a

  1

  2

  +

  1

  a

  2

  2

  +

  1

  a

  3

  2

  +

  …

  +

  1

  a

  n

  2

  ＜

  7

  4

  對任意n∈N^*恒成立．
  組卷：381引用：2難度：0.5

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