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2022-2023學(xué)年湖南省長沙市瀏陽市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

發(fā)布：2024/4/20 14:35:0

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．

1．圓x²+y²+2x-4y-6=0的圓心和半徑分別是（　　）
A．（-1，-2），11 B．（-1，2），11 C．（-1，-2），
11
D．（-1，2），
11
組卷：740引用：14難度：0.9
解析
2．如果AB＞0且BC＜0，那么直線Ax+By+C=0不經(jīng)過（　?。?/h2>
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
組卷：415引用：9難度：0.8
解析
3．正四面體ABCD的棱長為a,點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則
AE
?
AF
的值為（　?。?/h2>
A．a(chǎn)² B．
1
2
a
2
C．
1
4
a
2
D．
3
4
a
2
組卷：272引用：14難度：0.7
解析
4．已知直線
l
：
3
x
+
y
-
2
=
0
，則（　?。?/h2>
A．直線l的傾斜角為
5
π
6
B．直線l的斜率為
3
C．直線l的一個法向量為
u
=
（
1
，
3
）
D．直線l的一個方向向量為
v
=
（
-
3
，
3
）
組卷：84引用：8難度：0.7
解析
5．如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設(shè)計元素賦予了這座建筑以輕盈，極簡和雕塑般的氣質(zhì)，該建筑物外形弧線的一段可以近似看成焦點在y軸上的雙曲線
y
2
a
2
-
x
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
上支的一部分．已知該雙曲線的上焦點F到下頂點的距離為18，F(xiàn)到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為（　?。?/h2>
A．
5
3
B．
5
4
C．
4
3
D．
4
5
組卷：230引用：4難度：0.5
解析
6．若直線y=kx+1?與圓x²+y²=1?相交于A，B?兩點，且∠AOB=60°?（其中O?為原點），則k?的值為（　　）
A．
-
3
3
?或
3
3
? B．
3
3
? C．
-
2
?或
2
? D．
2
?
組卷：47引用：4難度：0.7
解析
7．已知拋物線C：y²=8x的焦點為F，點M（-2，2），過點F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若MA⊥MB，則k=（　?。?/h2>
A．
2
B．
2
2
C．
1
2
D．2
組卷：83引用：1難度：0.5
解析

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四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

21．某團隊開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲，如圖所示，A、B兩個信號源相距10米，O是AB的中點，過O點的直線l與直線AB的夾角為45°，機器貓在直線l上運動，機器鼠的運動軌跡始終滿足：接收到A點的信號比接收到B點的信號晚
8
v
0
秒，其中v₀（單位：米/秒）是信號傳播的速度．
（1）以O(shè)為原點，以O(shè)B方向為x軸正方向，且以米為單位，建立平面直角坐標系，設(shè)機器鼠所在位置為點P，求點P的軌跡方程；
（2）若游戲設(shè)定：機器鼠在距離直線l不超過1.5米的區(qū)域運動時，有“被抓”的風險．如果機器鼠保持目前的運動軌跡不變，是否有“被抓”風險？
組卷：16引用：3難度：0.5
解析
22．已知橢圓
Ω
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的離心率為
3
2
，橢圓Ω截直線x=1所得線段的長度為
3
．過
M
（
3
，
0
）
作互相垂直的兩條直線l₁、l₂，直線l₁與橢圓Ω交于A、B兩點，直線l₂與橢圓Ω交于C、D兩點，AB、CD的中點分別為E、F．
（1）求橢圓Ω的方程；
（2）證明：直線EF恒過定點，并求出定點坐標；
（3）求四邊形ABCD面積S的最小值．
組卷：76引用：4難度：0.4
解析