2022-2023學(xué)年浙江省寧波市余姚中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

• 1．已知空間向量

  a

  =

  （

  -

  1

  ，

  2

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  3

  ，

  x

  ,-

  3

  ）

  ，且

  a

  ∥

  b

  ，則x=（　?。?/h2>

  A．-3

  B．3

  C．-6

  D．6
  組卷：242引用：4難度：0.7

  解析

• 2．直線3x+2y-1=0的一個(gè)方向向量是（　　）

  A．（2，-3）

  B．（2，3）

  C．（-3，2）

  D．（3，2）
  組卷：1867引用：41難度：0.9

  解析

• 3．雙曲線

  x

  2

  5

  -

  y

  2

  4

  =

  1

  的焦距等于（　?。?/h2>

  A．1

  B．2

  C．3

  D．6
  組卷：208引用：2難度：0.9

  解析

• 4．圓x²+y²-4=0與圓x²+y²-4x+4y-12=0的公共弦長(zhǎng)為（　　）

  A．2

  B．2 2

  C．3

  D．2 3
  組卷：165引用：3難度：0.7

  解析

• 5．袋內(nèi)有大小相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，設(shè)事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，則下列說(shuō)法正確的是（　　）

  A．事件A與B為互斥事件

  B．事件B與C為對(duì)立事件

  C．事件A與B為非相互獨(dú)立事件

  D．事件A與C為相互獨(dú)立事件
  組卷：352引用：5難度：0.8

  解析

• 6．在正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AC的中點(diǎn)，則異面直線AE，F(xiàn)G所成角的余弦值為（　　）

  A． 1 2

  B． 3 5

  C． 3 3

  D． 6 3
  組卷：535引用：9難度：0.7

  解析

• 7．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c,0），F(xiàn)₂（c,0），若橢圓C上存在一點(diǎn)M使得△MF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為

  c

  2

  ，則橢圓C的離心率的取值范圍是（　?。?/h2>

  A． （ 0 ， 3 5 ]

  B． （ 0 ， 4 5 ]

  C． [ 3 5 ， 1 ）

  D． [ 4 5 ， 1 ）
  組卷：803引用：10難度：0.6

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

• 21．如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，F(xiàn)A=FC，AB=2，且∠DAB=∠DBF=60°．
  （1）求證：AC⊥平面BDEF；
  （2）若M為線段DE上的一點(diǎn)，滿足直線AM與平面ABF所成角的正弦值為

  2

  30

  15

  ，求線段DM的長(zhǎng)．
  組卷：142引用：2難度：0.5

  解析

• 22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為

  6

  3

  ．點(diǎn)P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限．記△PF₁F₂的面積為S，當(dāng)PF₂⊥F₁F₂時(shí)，

  S

  =

  2

  6

  3

  ．
  （1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （2）如圖，PF₁，PF₂的延長(zhǎng)線分別交橢圓于點(diǎn)M，N，記△MF₁F₂和△NF₁F₂的面積分別為S₁和S₂．
  （?。┣笞C：存在常數(shù)λ，使得

  1

  S

  1

  +

  1

  S

  2

  =

  λ

  S

  成立；
  （ⅱ）求S₂-S₁的最大值．
  組卷：268引用：6難度：0.6

  解析