2020-2021學年湖南省長沙市長郡中學高二（上）入學數(shù)學試卷

一、單項選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

• 1．已知集合

  A

  =

  {

  x

  |

  x

  2

  ≤

  1

  4

  }

  ，集合

  B

  =

  {

  y

  |

  y

  =

  1

  -

  x

  2

  }

  ，則A∩B=（　?。?/h2>

  A． [ - 1 2 ， 1 2 ]

  B．[-1，1]

  C．[0，1]

  D． [ 0 ， 1 2 ]
  組卷：41引用：1難度：0.8

  解析

• 2．等差數(shù)列{a_n}中a₁=3，a₁+a₂+a₃=21，則a₃+a₄+a₅=（　?。?/h2>

  A．45

  B．42

  C．21

  D．84
  組卷：71引用：2難度：0.9

  解析

• 3．如圖是冪函數(shù)y=xⁿ在第一象限內的圖象，已知n取

  1

  2

  ，2，-2，-

  1

  2

  四值，則相應于曲線C₁，C₂，C₃，C₄的n依次為（　?。?/h2>

  A．2， 1 2 ，- 1 2 ，-2	B．-2，- 1 2 ， 1 2 ，2
  C．- 1 2 ，-2，2， 1 2	D．2， 1 2 ，-2，- 1 2
  組卷：505引用：5難度：0.7

  解析

• 4．已知一組數(shù)據(jù)x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的平均數(shù)是2，方差是

  1

  3

  ，那么另一組數(shù)據(jù)3x₁-2，3x₂-2，3x₃-2，3x₄-2，3x₅-2的平均數(shù)和方差分別為（　?。?/h2>

  A．2， 1 3

  B．4，3

  C．4， 2 3

  D．2，1
  組卷：616引用：26難度：0.9

  解析

• 5．阿波羅尼斯是亞歷山大時期的著名數(shù)學家，“阿波羅尼斯圓”是他的主要研究成果之一：若動點P與兩定點M，N的距離之比為λ（λ＞0，且λ≠1），則點P的軌跡就是圓．事實上，互換該定理中的部分題設和結論，命題依然成立．已知點M（2，0），點P為圓O：x²+y²=16上的點，若存在x軸上的定點N（t,0）（t＞4）和常數(shù)λ，對滿足已知條件的點P均有|PM|=λ|PN|，則λ=（　?。?/h2>

  A．1

  B． 1 2

  C． 1 3

  D． 1 4
  組卷：50引用：4難度：0.8

  解析

• 6．若僅存在一個實數(shù)

  t

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，使得曲線C：

  y

  =

  sin

  （

  ωx

  -

  π

  6

  ）

  （

  ω

  ＞

  0

  ）

  關于直線x=t對稱，則ω的取值范圍是（　?。?/h2>

  A． [ 1 3 ， 7 3 ）

  B． [ 4 3 ， 10 3 ）

  C． （ 1 3 ， 7 3 ]

  D． （ 4 3 ， 10 3 ]
  組卷：260引用：6難度：0.7

  解析

• 7．已知一個正三棱錐的高為3，如圖是其底面用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖，其中O'為B'C'的中點，

  OA

  ′

  =

  3

  2

  ，則此正三棱錐的體積為（　?。?/h2>

  A． 3

  B． 3 3

  C． 3 4

  D． 3 3 4
  組卷：157引用：2難度：0.6

  解析

• 8．已知向量

  p

  =

  a

  |

  a

  |

  +

  b

  |

  b

  |

  ，其中

  a

  ，

  b

  均為非零向量，則

  |

  p

  |

  的取值范圍是（　　）

  A． [ 0 ， 2 ]

  B．[0，1]

  C．（0，2]

  D．[0，2]
  組卷：230引用：5難度：0.7

  解析

四、解答題（本題共5小題，每小題8分，共40分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）

• 24．已知兩個定點A（0，4），B（0，1），動點P滿足|PA|=2|PB|，設動點P的軌跡為曲線E，直線l：y=kx-4．
  （1）求曲線E的軌跡方程；
  （2）若l與曲線E交于不同的C、D兩點，且∠COD=120°（O為坐標原點），求直線l的斜率；
  （3）若k=1，Q是直線l上的動點，過Q作曲線E的兩條切線OM、ON，切點為M、N，探究：直線MN是否過定點，若存在定點請寫出坐標，若不存在則說明理由．
  組卷：216引用：5難度：0.6

  解析

• 25．設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），集合A={x|f（x）=x}．
  （1）若A={1，2}，f（0）＞0，且方程f（x）=0的兩根都小于-1，求實數(shù)a的取值范圍；
  （2）若A={2}，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值M（結果用a表示）．
  組卷：176引用：2難度：0.5

  解析