2023-2024學(xué)年上海市魯迅中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共12小題，共54.0分，其中1-6題每題4分，7-12題每題5分）

• 1．已知集合A={2，3，5}，B={1，5}，則A∪B=

  ．
  組卷：215引用：8難度：0.8

  解析

• 2．已知向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  k

  +

  1

  ）

  且

  a

  ⊥

  b

  ，求實(shí)數(shù)k=

  ．
  組卷：21引用：2難度：0.8

  解析

• 3．已知復(fù)數(shù)z滿足（

  z

  -2）i=1（i是虛數(shù)單位），則z=

  ．
  組卷：282引用：7難度：0.7

  解析

• 4．已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（3，4），則

  tan

  （

  π

  2

  +

  α

  ）

  =

  ．
  組卷：380引用：7難度：0.7

  解析

• 5．若關(guān)于x的二項(xiàng)式（2x+

  a

  x

  ）⁷的展開式中一次項(xiàng)的系數(shù)是-70，則a=

  ．
  組卷：308引用：6難度：0.7

  解析

• 6．已知正數(shù)a、2b的算術(shù)平均值是2，則a、b的幾何平均值的最大值為

  ．
  組卷：123引用：6難度：0.8

  解析

• 7．若某圓錐高為3，其側(cè)面積與底面積之比為2：1，則該圓錐的體積為

  ．
  組卷：161引用：7難度：0.6

  解析

三、解答題（本大題共5小題，共78.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

• 20．某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬元～1000萬元的投資收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（萬元）隨投資收益x（萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
  （1）若建立函數(shù)f（x）模型制定獎勵方案，試用數(shù)學(xué)語言表述公司對獎勵函數(shù)f（x）模型的基本要求；
  （2）現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型：
  ①

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  150

  +

  2

  ；②f（x）=lnx-2；問這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求，并說明理由？
  組卷：48引用：7難度：0.6

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• 21．已知函數(shù)f（x）=x?sinx.
  （1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（

  π

  2

  ，f（

  π

  2

  ））處的切線方程；
  （2）當(dāng)x∈（-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）時，求證：f（x）≥1-cosx；
  （3）求證：當(dāng)x∈（0，

  π

  2

  ）時，f（x）-

  1

  3

  tanx=0有且僅有2個實(shí)數(shù)根．
  組卷：94引用：4難度：0.2

  解析