2023-2024學(xué)年湖南省長沙市長郡中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

• 1．若兩個不同平面α，β的法向量分別為

  u

  =（1，2，-1），

  v

  =（-3，-6，3），則（　?。?/h2>

  A．α∥β	B．α⊥β
  C．α，β相交但不垂直	D．以上均不正確
  組卷：298引用：8難度：0.9

  解析

• 2．《萊因德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣的題目，請給出答案：把100個面包分給5個人，使每人所得面包個數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的

  1

  7

  是較小的兩份之和，則最小的一份為（　?。?/h2>

  A． 5 3

  B． 10 3

  C． 5 6

  D． 11 6
  組卷：115引用：2難度：0.7

  解析

• 3．若直線y=kx-2與直線y=3x垂直，則k=（　?。?/h2>

  A．3

  B． 1 3

  C．-3

  D． - 1 3
  組卷：113引用：2難度：0.8

  解析

• 4．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M，N分別是A₁B₁，A₁C₁的中點，BC=CA=CC₁，則BM與NA所成的角的余弦值為（　?。?/h2>

  A． - 30 10

  B． 30 6

  C． 30 10

  D． 2 2
  組卷：92引用：3難度：0.5

  解析

• 5．雙曲線C與橢圓

  x

  2

  9

  +

  y

  2

  4

  =

  1

  有相同的焦點，一條漸近線的方程為x-2y=0，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　?。?/h2>

  A． x 2 4 - y 2 = 1

  B． y 2 9 - x 2 36 = 1

  C． x 2 9 - y 2 36 = 1

  D． y 2 4 - x 2 = 1
  組卷：263引用：6難度：0.7

  解析

• 6．已知拋物線E：x²=4y和圓F：x²+（y-1）²=1，過點F作直線l與上述兩曲線自左而右依次交于點A，C，D，B，則|AC|與|BD|的乘積為（　?。?/h2>

  A．1

  B．2

  C．3

  D． 2
  組卷：88引用：1難度：0.6

  解析

• 7．已知數(shù)列{a_n}滿足

  2

  a

  n

  +

  1

  a

  n

  +

  a

  n

  +

  1

  -

  3

  a

  n

  =

  0

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  且a₁＞0．若{a_n}是遞增數(shù)列，則a₁的取值范圍是（　?。?/h2>

  A． （ 0 ， 1 2 ）

  B． （ 1 2 ， 1 ）

  C．（0，1）

  D． （ 0 ， 2 - 1 ）
  組卷：107引用：2難度：0.5

  解析

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，

  a

  n

  +

  1

  =

  2

  -

  1

  a

  n

  ，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，

  b

  2

  n

  b

  2

  n

  -

  1

  =

  b

  2

  n

  +

  1

  b

  2

  n

  =

  a

  n

  ．
  （1）求證：數(shù)列

  {

  1

  a

  n

  -

  1

  }

  為等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
  （2）求b_2n+1的表達(dá)式；
  （3）求證：

  1

  b

  2

  +

  1

  b

  4

  +

  …

  +

  1

  b

  2

  n

  ＜

  1

  ．
  組卷：125引用：2難度：0.5

  解析

• 22．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦點分別為F₁、F₂，焦距為2，上、下頂點分別為B₁、B₂，A為橢圓上的點，且滿足

  k

  A

  B

  1

  ?

  k

  A

  B

  2

  =

  -

  3

  4

  ．
  （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （2）過F₁、F₂作兩條相互平行的直線l₁，l₂交C于M，N和P，Q，順次連接構(gòu)成四邊形PQNM，求四邊形PQNM面積的取值范圍．
  組卷：153引用：2難度：0.5

  解析