2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

• 1．已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N={x|x²-x-6≥0}，則M∩N=（　　）

  A．{-2，-1，0，1}

  B．{0，1，2}

  C．{-2}

  D．{2}
  組卷：4465引用：51難度：0.9

  解析

• 2．已知z=

  1

  -

  i

  2

  +

  2

  i

  ，則z-

  z

  =（　?。?/h2>

  A．-i

  B．i

  C．0

  D．1
  組卷：3895引用：38難度：0.9

  解析

• 3．已知向量

  a

  =（1，1），

  b

  =（1，-1）．若（

  a

  +λ

  b

  ）⊥（

  a

  +μ

  b

  ），則（　?。?/h2>

  A．λ+μ=1

  B．λ+μ=-1

  C．λμ=1

  D．λμ=-1
  組卷：4739引用：29難度：0.7

  解析

• 4．已知

  a

  =

  e

  1

  2

  ，

  b

  =

  ln

  1

  2

  ，

  c

  =

  sin

  1

  2

  ，則（　　）

  A．a(chǎn)＞b＞c

  B．b＞c＞a

  C．c＞a＞b

  D．a(chǎn)＞c＞b
  組卷：596引用：8難度：0.8

  解析

• 5．設(shè)橢圓C₁：

  x

  2

  a

  2

  +y²=1（a＞1），C₂：

  x

  2

  4

  +y²=1的離心率分別為e₁，e₂．若e₂=

  3

  e₁，則a=（　?。?/h2>

  A． 2 3 3

  B． 2

  C． 3

  D． 6
  組卷：5124引用：7難度：0.7

  解析

• 6．過點(diǎn)（0，-2）與圓x²+y²-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα=（　?。?/h2>

  A．1

  B． 15 4

  C． 10 4

  D． 6 4
  組卷：4515引用：23難度：0.7

  解析

• 7．已知不共線的兩個(gè)非零向量

  a

  ，

  b

  ，則“

  a

  +

  b

  與

  a

  -

  b

  所成角為鈍角”是“

  |

  a

  |

  ＜

  |

  b

  |

  ”的（　?。?/h2>

  A．充分而不必要條件	B．必要而不充分條件
  C．充分必要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：85引用：4難度：0.8

  解析

四、解答題：本題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 20．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  的離心率為

  2

  2

  ．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，直線l：y=kx-1與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P（點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，經(jīng)過點(diǎn)Q且斜率為

  2

  2

  的直線與l交于點(diǎn)M，點(diǎn)N滿足PN∥x軸，MN⊥x軸，求證：點(diǎn)N在直線

  y

  =

  2

  2

  x

  +

  1

  上．
  組卷：88引用：3難度：0.2

  解析

• 21．對(duì)于給定的正整數(shù)m和實(shí)數(shù)a,若數(shù)列{a_n}滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①a₁+a₂+?+a_m=a；②對(duì)?n∈N^*，a_n+m=a_n，則稱數(shù)列{a_n}具有性質(zhì)P_m（a）．
  （Ⅰ）若數(shù)列{a_n}具有性質(zhì)P₂（1），求數(shù)列{a_n}的前10項(xiàng)和；
  （Ⅱ）對(duì)于給定的正奇數(shù)t,若數(shù)列{a_n}同時(shí)具有性質(zhì)P₄（4）和P_t（t），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
  （Ⅲ）若數(shù)列{a_n}具有性質(zhì)P_m（a），求證：存在自然數(shù)N，對(duì)任意的正整數(shù)k,不等式

  a

  N

  +

  1

  +

  a

  N

  +

  2

  +

  ?

  +

  a

  N

  +

  k

  k

  ≥

  a

  m

  均成立．
  組卷：190引用：8難度：0.3

  解析