2023-2024學(xué)年湖南省長沙市長郡中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（三）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

• 1．已知集合A={x|x²-4x+3＜0}，B={x|lnx≤1}，則A∩B=（　?。?/div>

  A．（1，e]

  B．[1，3]

  C．（0，e]

  D．（0，3]
  組卷：23引用：2難度：0.8

  解析
• 2．若i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)

  2

  +

  3

  i

  1

  +

  i

  的實(shí)部與虛部之積為（　?。?/div>

  A． - 5 4

  B． 5 4

  C． 5 4 i

  D． - 5 4 i
  組卷：653引用：5難度：0.9

  解析
• 3．函數(shù)y=2sin（

  πx

  6

  -

  π

  3

  ）（0≤x≤9）的最大值與最小值之差為（　?。?/div>

  A．2+ 3

  B．4

  C．3

  D．2- 3
  組卷：144引用：9難度：0.9

  解析
• 4．已知函數(shù)f（x）=lg（x²-4x-5）在（a,+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（　　）

  A．（2，+∞）

  B．[2，+∞）

  C．（5，+∞）

  D．[5，+∞）
  組卷：5142引用：19難度：0.6

  解析
• 5．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=60°，|PF₁|=3|PF₂|，則C的離心率為（　?。?/div>

  A． 7

  B． 13

  C． 7 2

  D． 13 2
  組卷：2416引用：34難度：0.7

  解析
• 6．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖，將一個(gè)正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，則該多面體中具有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)正三角形所在平面的夾角正切值為（　?。?/div>

  A． 2 2

  B．1

  C． 2

  D．2 2
  組卷：163引用：3難度：0.5

  解析
• 7．設(shè)正實(shí)數(shù)x、y、z滿足4x²-3xy+y²-z=0，則

  xy

  z

  的最大值為（　?。?/div>

  A．0

  B．2

  C．1

  D．3
  組卷：445引用：4難度：0.7

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四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．對于橢圓：

  y

  2

  a

  2

  +

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，我們稱雙曲線：

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  為其伴隨雙曲線．已知橢圓C：

  y

  2

  3

  +

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  0

  ＜

  b

  ＜

  3

  ），它的離心率是其伴隨雙曲線Γ離心率的

  2

  2

  倍．
  （1）求橢圓C伴隨雙曲線Γ的方程；
  （2）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為Γ的下頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，過F的直線l與Γ上支交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)△ABO的面積為S，∠AOB=θ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若△ABE的面積為

  6

  +

  3

  3

  ，求

  S

  tanθ

  ．
  組卷：99引用：6難度：0.4

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• 22．已知函數(shù)f（x）=ae^x-sinx-1，其中a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)．
  （1）當(dāng)a=1時(shí)，證明：對?x∈[0，+∞），f（x）≥0；
  （2）若函數(shù)f（x）在（0，

  π

  2

  ）上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
  組卷：175引用：5難度：0.4

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