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2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（三）

發(fā)布：2024/9/28 8:0:1

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．已知集合A={x|x²-4x+3＜0}，B={x|lnx≤1}，則A∩B=（　?。?/h2>
A．（1，e] B．[1，3] C．（0，e] D．（0，3]
組卷：24引用：2難度：0.8
解析
2．若i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)
2
+
3
i
1
+
i
的實(shí)部與虛部之積為（　?。?/h2>
A．
-
5
4
B．
5
4
C．
5
4
i
D．
-
5
4
i
組卷：654引用：5難度：0.9
解析
3．函數(shù)y=2sin（
πx
6
-
π
3
）（0≤x≤9）的最大值與最小值之差為（　?。?/h2>
A．2+
3
B．4 C．3 D．2-
3
組卷：149引用：9難度：0.9
解析
4．已知函數(shù)f（x）=lg（x²-4x-5）在（a,+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（　?。?/h2>
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（5，+∞） D．[5，+∞）
組卷：5312引用：22難度：0.6
解析
5．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=60°，|PF₁|=3|PF₂|，則C的離心率為（　?。?/h2>
A．
7
B．
13
C．
7
2
D．
13
2
組卷：2818引用：36難度：0.7
解析
6．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖，將一個(gè)正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，則該多面體中具有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)正三角形所在平面的夾角正切值為（　　）
A．
2
2
B．1 C．
2
D．2
2
組卷：168引用：3難度：0.5
解析
7．設(shè)正實(shí)數(shù)x、y、z滿足4x²-3xy+y²-z=0，則
xy
z
的最大值為（　　）
A．0 B．2 C．1 D．3
組卷：472引用：4難度：0.7
解析

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四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

21．對(duì)于橢圓：
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，我們稱雙曲線：
y
2
a
2
-
x
2
b
2
=
1
為其伴隨雙曲線．已知橢圓C：
y
2
3
+
x
2
b
2
=
1
（
0
＜
b
＜
3
），它的離心率是其伴隨雙曲線Γ離心率的
2
2
倍．
（1）求橢圓C伴隨雙曲線Γ的方程；
（2）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為Γ的下頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與Γ上支交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)△ABO的面積為S，∠AOB=θ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若△ABE的面積為
6
+
3
3
，求
S
tanθ
．
組卷：117引用：6難度：0.4
解析
22．已知函數(shù)f（x）=ae^x-sinx-1，其中a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)?x∈[0，+∞），f（x）≥0；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，
π
2
）上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
組卷：178引用：5難度：0.4
解析