2022-2023學年上海市靜安區(qū)新中高級中學高三（上）期中數學試卷

一、填空題：（本大題共有12個小題，其中1-6每小題4分，7-12每小題4分，共54分）

• 1．直線

  y

  +

  1

  =

  3

  （

  x

  -

  1

  ）

  的傾斜角為

  ．
  組卷：67引用：4難度：0.7

  解析
• 2．若A={-2，2，3，4}，B={x|x=t²，t∈A}，用列舉法表示B=

  ．
  組卷：1083引用：31難度：0.7

  解析
• 3．復數

  z

  =

  2

  1

  +

  i

  （i為虛數單位），則

  |

  z

  |

  =

  ．
  組卷：81引用：6難度：0.9

  解析
• 4．設點P從點（1，0）出發(fā)，沿著圓心在原點的單位圓順時針方向運動

  2

  3

  π

  ：弧長到達點Q，則劣弧

  ?

  PQ

  的長為

  ．
  組卷：50難度：0.9

  解析
• 5．已知

  tan

  （

  π

  +

  α

  ）

  =

  1

  2

  ，則

  2

  sinα

  -

  cosα

  sinα

  +

  cosα

  =

  ．
  組卷：232引用：1難度：0.5

  解析
• 6．已知

  |

  b

  |

  =

  3

  且

  a

  ?

  b

  =

  4

  ，則向量

  a

  在向量

  b

  上的投影向量為

  ．
  組卷：44引用：1難度：0.8

  解析
• 7．已知集合

  A

  =

  {

  x

  |

  x

  +

  1

  x

  -

  2

  ＜

  0

  }

  ，

  B

  =

  {

  x

  |

  x

  ＜

  a

  }

  ，若A∩B≠?，且A∪B≠B，則實數a的取值范圍為

  ．
  組卷：30引用：1難度：0.7

  解析

三、解答題：（本大題共78分）

• 20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x²+y²-12x-14y+60=0及其上一點A（2，4）．
  （1）設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；
  （2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA，求直線l的方程；
  （3）設點T（t,0）滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得

  TA

  +

  TP

  =

  TQ

  ，求實數t的取值范圍．
  組卷：3726難度：0.5

  解析
• 21．已知函數f（x）和g（x）的定義域分別為D₁和D₂，若對任意的x₀∈D₁，都恰好存在n個不同的實數x₁、x₂、…、x_n∈D₂，使得g（x_i）=f（x₀）（其中i=1、2、…、n,n∈N^*），則稱g（x）為f（x）的“n重覆蓋函數”，如g（x）=cosx,x∈（0，4π）是f（x）=x,x∈（-1，1）的“4重覆蓋函數”．
  （1）試判斷g（x）=|x|，x∈[-2，2]是否為f（x）=1+sinx,x∈R的“2重覆蓋函數”，并說明理由；
  （2）若g（x）=

  a x 2 + （ 2 a - 3 ） x - 4 ， x ∈ [ - 6 ， 0 ]

  x + a x ， x ∈ （ 0 ， 5 ]

  為f（x）=log₂x,x∈[4，16]的“3重覆蓋函數”，求實數a的取值范圍；
  （3）若g（x）=

  1

  -

  |

  sinπx

  |

  x

  ，x∈[0，+∞）為

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  -

  1

  3

  ，x∈（s,t）（0＜s＜t）的“9重覆蓋函數”，求t-s的最大值．
  組卷：61引用：5難度：0.2

  解析