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2023-2024學(xué)年湖南省湘潭市鋼鐵集團(tuán)第一子弟中學(xué)高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（8月份）

發(fā)布：2024/7/8 8:0:10

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．已知集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={y|y=e^x}，則A∩B=（　?。?/h2>
A．? B．（-1，+∞） C．（0，3） D．（1，3）
組卷：54引用：7難度：0.7
解析
2．歐拉公式e^xi=cosx+isinx（其中i為虛數(shù)單位，x∈R）將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，則（　?。?/h2>
A．e^πi=1
B．
e
πi
2
為實(shí)數(shù)
C．
|
e
xi
3
+
i
|
=
1
2
D．復(fù)數(shù)e²ⁱ對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限
組卷：18引用：3難度：0.7
解析
3．已知
|
a
|
=
2
|
b
|
，若
a
與
b
的夾角為120°，則
2
b
-
a
在
a
上的投影向量為（　?。?/h2>
A．
3
-
3
a
B．
-
3
2
a
C．
-
1
2
a
D．
3
a
組卷：453引用：9難度：0.8
解析
4．“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍(lán)天也是幸?！?，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，人們的環(huán)境保護(hù)意識(shí)日益增強(qiáng)，貴州某家化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為1.8mg/cm³，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會(huì)減少20%，貴州省環(huán)保部門為了保護(hù)好貴州優(yōu)越的生態(tài)環(huán)境，要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.3mg/cm³，若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為（　?。▍⒖紨?shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.477）
A．7 B．8 C．9 D．10
組卷：124引用：3難度：0.7
解析
5．已知函數(shù)y=f（x）對(duì)于任意的
x
∈
（
-
π
2
，
π
2
）
滿足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（　　）
A．
f
（
0
）
＞
2
f
（
π
4
）
B．
2
f
（
-
π
3
）
＞
f
（
-
π
4
）
C．
2
f
（
π
3
）
＞
f
（
π
4
）
D．
f
（
0
）
＞
2
f
（
π
3
）
組卷：379引用：6難度：0.6
解析
6．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為
a
,
b
,
c
,
B
=
π
3
，
c
=
2
，則△ABC的周長的取值范圍為（　?。?/h2>
A．
（
3
+
3
，
2
+
2
3
）
B．
（
3
+
3
，
4
+
2
3
）
C．
（
3
+
3
，
6
+
2
3
）
D．
（
3
+
3
，
+
∞
）
組卷：192引用：3難度：0.5
解析
7．已知C，D是圓O：x²+y²=9上兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，直線（m+1）x+y-（m+2）=0恒過定點(diǎn)P，若以CD為直徑的圓過點(diǎn)P，則CD最小值為（　　）
A．4-
2
B．4+
2
C．8-2
2
D．6-
2
組卷：163引用：6難度：0.5
解析

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四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

21．已知函數(shù)f（x）=（x-1）lnx-m（x+1）．
（Ⅰ）若m=1，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若對(duì)任意的
x
∈
（
1
e
，
+
∞
）
，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
組卷：66引用：3難度：0.6
解析
22．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，
A
1
，
A
2
分別為橢圓C的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，B是橢圓C的上頂點(diǎn)，且△BA₁F₁的外接圓半徑為
2
21
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)與x軸不垂直的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)（P，Q在x軸的兩側(cè)），記直線A₁P，A₂P，A₂Q，A₁Q的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄．
（ⅰ）求k₁?k₂的值；
（ⅱ）若k₁+k₄=
5
3
（
k
2
+
k
3
）
，則求△F₂PQ的面積的取值范圍．
組卷：90引用：3難度：0.5
解析

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A． f （ 0 ）＞ 2 f （ π 4 ）	B． 2 f （ - π 3 ）＞ f （ - π 4 ）
C． 2 f （ π 3 ）＞ f （ π 4 ）	D． f （ 0 ）＞ 2 f （ π 3 ）

2023-2024學(xué)年湖南省湘潭市鋼鐵集團(tuán)第一子弟中學(xué)高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（8月份）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={y|y=ex}，則A∩B=（ ?。?/h2>

3．已知|a|=2|b|，若a與b的夾角為120°，則2b-a在a上的投影向量為（ ?。?/h2>

5．已知函數(shù)y=f（x）對(duì)于任意的x∈（-π2，π2）滿足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（ ）

6．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,B=π3，c=2，則△ABC的周長的取值范圍為（ ?。?/h2>

7．已知C，D是圓O：x2+y2=9上兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，直線（m+1）x+y-（m+2）=0恒過定點(diǎn)P，若以CD為直徑的圓過點(diǎn)P，則CD最小值為（ ）

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

21．已知函數(shù)f（x）=（x-1）lnx-m（x+1）．（Ⅰ）若m=1，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈（1e，+∞），f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．已知集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={y|y=e^x}，則A∩B=（　?。?/h2>

3．已知
|
a
|
=
2
|
b
|
，若
a
與
b
的夾角為120°，則
2
b
-
a
在
a
上的投影向量為（　?。?/h2>

5．已知函數(shù)y=f（x）對(duì)于任意的
x
∈
（
-
π
2
，
π
2
）
滿足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（　　）

6．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為
a
,
b
,
c
,
B
=
π
3
，
c
=
2
，則△ABC的周長的取值范圍為（　?。?/h2>

7．已知C，D是圓O：x²+y²=9上兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，直線（m+1）x+y-（m+2）=0恒過定點(diǎn)P，若以CD為直徑的圓過點(diǎn)P，則CD最小值為（　　）

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

21．已知函數(shù)f（x）=（x-1）lnx-m（x+1）．
（Ⅰ）若m=1，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若對(duì)任意的
x
∈
（
1
e
，
+
∞
）
，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．