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2023-2024學(xué)年湖南省岳陽一中高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

發(fā)布：2024/7/15 8:0:9

一．選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）

1．集合A={x|x²+px+q=0，x∈R}={2}，則p+q=（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
組卷：173引用：3難度：0.8
解析
2．在下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（　　）
A．f（x）=x-cosx B．f（x）=xcosx
C．f（x）=ln|x| D．
f
（
x
）
=
x
組卷：386引用：3難度：0.7
解析
3．函數(shù)f（x）=log₂x+2x-1的零點所在區(qū)間為（　　）
A．
（
0
，
1
2
）
B．
（
1
2
，
1
）
C．
（
1
，
3
2
）
D．
（
3
2
，
2
）
組卷：198引用：3難度：0.7
解析
4．若α、β是兩個不重合的平面，
①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α∥β；
②設(shè)α、β相交于直線l,若α內(nèi)有一條直線垂直于l,則α⊥β；
③若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l∥α；
以上說法中成立的有（　?。﹤€．
A．0 B．1 C．2 D．3
組卷：56引用：3難度：0.7
解析
5．函數(shù)
f
（
x
）
=
x
4
2
-
e
|
x
|
+
1
在[-2，2]上的大致圖象為（　?。?/h2>
A． B． C． D．
組卷：65引用：3難度：0.8
解析
6．如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m,在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測得樓頂部M的仰角為15°，則鸛雀樓的高度約為（　?。?br />
A．91m B．74m C．64m D．52m
組卷：103引用：9難度：0.5
解析
7．若正實數(shù)x、y滿足x+y=1，則
x
2
x
+
2
+
y
2
y
+
1
的最小值為（　　）
A．
1
8
B．
1
4
C．
1
2
D．1
組卷：780引用：3難度：0.5
解析

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四．解答題（共6小題，共70分）

21．已知函數(shù)f（x）=lna?xe^-x+asinx,e是自然對數(shù)的底數(shù)，若a＞0，且x=0恰為f（x）的極值點．
（1）證明：
1
2
＜
a
＜
1
；
（2）求f（x）在區(qū)間（-∞，π）上零點的個數(shù)．
組卷：416引用：2難度：0.1
解析
22．已知雙曲線C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
，設(shè)P是雙曲線C上任意一點，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為雙曲線右焦點，A₁，A₂為雙曲線的左右頂點．

（1）已知：無論點P在右支的何處，總有|PO|＞|PF|，求
b
a
的取值范圍；
（2）設(shè)過右焦點F的直線l交雙曲線于M，N兩點，若存在直線l,使得△OMN為等邊三角形，求
b
2
a
2
的值；
（3）若a=2，
b
=
3
，動點Q在雙曲線上，且與雙曲線的頂點不重合，直線QA₁和直線QA₂與直線l：x=1分別相交于點S和T，試問：是否存在定點E，使得ES⊥ET恒成立？若存在，請求出定點E的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．
組卷：35引用：1難度：0.3
解析