2023-2024學(xué)年廣東省惠州市高三（上）第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分40分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對得5分，選錯(cuò)得0分。

• 1．設(shè)U={x|x是不大于6的正整數(shù)}，A={1，2，3}，B={3，5}，求?_U（A∪B）=（　　）

  A．?	B．{4，6}
  C．{1，2，3，5}	D．{1，2，3，4，5，6}
  組卷：248引用：6難度：0.9

  解析

• 2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（1-i）=1+i,則z的虛部為（　?。?/h2>

  A．-1

  B．1

  C．i

  D．-i
  組卷：91引用：5難度：0.8

  解析

• 3．若（x+2）⁴=a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，則a₄-a₃+a₂-a₁+a₀=（　?。?/h2>

  A．1

  B．-1

  C．15

  D．-15
  組卷：93引用：2難度：0.9

  解析

• 4．設(shè)a∈R，則“a＞1”是“a²＞1”的（　　）

  A．充分非必要條件	B．必要非充分條件
  C．充要條件	D．既非充分也非必要條件
  組卷：5219引用：50難度：0.9

  解析

• 5．蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)．如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”．畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個(gè)等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段CB的延長線于點(diǎn)D（第一段圓?。僖渣c(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段AC的延長線于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時(shí)針畫圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?1段圓弧時(shí)，“蚊香”的長度為（　?。?/h2>

  A．14π

  B．18π

  C．30π

  D．44π
  組卷：269引用：10難度：0.7

  解析

• 6．甲乙兩位游客慕名來到惠州旅游，準(zhǔn)備分別從惠州西湖、博羅羅浮山、龍門南昆山、惠東鹽洲島和大亞灣紅樹林5個(gè)景點(diǎn)中各隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件A：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，事件B：甲和乙恰好一人選擇羅浮山，則P（B|A）=（　?。?/h2>

  A． 1 5

  B． 2 5

  C． 9 25

  D． 9 20
  組卷：61引用：1難度：0.8

  解析

• 7．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦點(diǎn)，已知雙曲線C的離心率為

  3

  ，過F₂作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，則

  |

  P

  F

  1

  |

  |

  OP

  |

  =（　?。?/h2>

  A． 6

  B．2

  C． 3

  D． 6 2
  組卷：172引用：5難度：0.6

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OA的中點(diǎn)為D，且|BD|=|DF|．
  （1）求C的方程；
  （2）已知點(diǎn)M，N均在直線x=2上，以MN為直徑的圓經(jīng)過O點(diǎn)，圓心為點(diǎn)T，直線AM，AN分別交橢圓C于另一點(diǎn)P，Q，證明：直線PQ與直線OT垂直．
  組卷：235引用：10難度：0.4

  解析

• 22．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  -

  a

  （

  x

  -

  1

  x

  ）

  ，a＞0．
  （1）討論f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
  （2）若f（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)t₁，t₂，t₃（t₁＜t₂＜t₃）和兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂）．
  （?。┳C明：f（x₁）+f（x₂）=0；
  （ⅱ）若m＜n,且mlnm=nlnn,證明：

  （

  1

  -

  m

  ）

  e

  -

  m

  t

  1

  t

  2

  t

  3

  ＞

  n

  （

  lnn

  +

  1

  ）

  ．
  組卷：224引用：7難度：0.6

  解析