1．問題發(fā)現(xiàn)：
如圖①，在平面直角坐標系中，已知點A（1，2）和點B（5，5），則線段AB的長為 ；
（2）問題探究：
如圖②，在平面直角坐標系中，已知點B（6，0），△OAB為等邊三角形，點A在第一象限，點C（2，0）在線段OB上，點M，N分別是邊OA，AB上兩點，求△CMN周長的最小值．
（提示：在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半．）
（3）問題解決：
為迎接國慶節(jié)，西安市園林綠化部門準備在一塊正方形的空地OABC上用鮮花擺放一個四邊形的圖案．設(shè)計員小華將其置于如圖③所示的平面直角坐標系中，已知點B（12，12），點A，C在坐標軸上，綠化部門計劃在正方形OABC內(nèi)圍成一個如圖所示的四邊形AMNP，在其內(nèi)部擺放花卉圖案，其余地方種植草坪．要求N，P在邊BC上，M在OC上，且OM=NP=4．請問是否存在點P，N，使得四邊形AMNP的周長最小？若存在，請求出最小值？如不存在，請說明理由．?

2．小明學(xué)習(xí)了平行四邊形這一章后，對特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)另外一類特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是 ；
（2）問題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CG，BE，GE，已知AC=4，AB=5．
①求證：四邊形BCGE為垂美四邊形；
②求出四邊形BCGE的面積．

3．如圖，在矩形ABCD中，AB=2cm,AD=4cm.動點P，Q從A同時出發(fā)，且速度均為2cm/s,點P，Q分別沿折線AB-BC，AD-DC向終點C運動．設(shè)點P的運動時間為x（s）（0＜x＜3），△APQ的面積為y（cm²）．
（1）當(dāng)點P與點B重合時，x的值為 ．
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．
（3）當(dāng)PQ長度不變時，直接寫出x的取值范圍及PQ的長度．