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試題詳情
一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，否則稱為合數(shù)．其中，1和0既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中對(duì)此進(jìn)行過(guò)詳細(xì)論述．一個(gè)較大自然數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)通常用“N法”來(lái)判斷，主要分為三個(gè)步驟：第一步，找出大于N且最接近N的平方數(shù)k2；第二步，用小于k的所有質(zhì)數(shù)去除N；第三步，如果這些質(zhì)數(shù)都不能整除N，那么N是質(zhì)數(shù)；如果這些質(zhì)數(shù)中至少有一個(gè)能整除N，那么N就是合數(shù)．如判斷239是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？第一步，239＜256=162：第二步，小于16的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13，用2、3、5、7、11、13依次去除239；第三步，發(fā)現(xiàn)沒(méi)有質(zhì)數(shù)能整除239，所以239是質(zhì)數(shù)．
分解質(zhì)因數(shù)就是把一個(gè)合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的形式，通過(guò)分解質(zhì)因數(shù)可以確定該合數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)．若N=am×bn×cp…（a,b,c…是不相等的質(zhì)數(shù)，m,n,p…是正整數(shù)），則合數(shù)N共有（m+1）（n+1）（p+1）…個(gè)約數(shù)．如8=23，3+1=4，則8共有4個(gè)約數(shù)；又如12=22×31，（2+1）（1+1）=6，則12共有6個(gè)約數(shù)．
請(qǐng)用以上方法解決下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)用“N法”判斷397是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？
（2）合數(shù)200的約數(shù)個(gè)數(shù)是多少？有和200約數(shù)個(gè)數(shù)相同的最小的合數(shù)嗎，若有，請(qǐng)舉例說(shuō)明，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)與合數(shù)．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/12/12 8:0:1組卷：50引用：1難度：0.2
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1．一艘輪船從某江上游的A地勻速行駛到下游的B地，用了10h,從B地勻速行駛返回A地用時(shí)12h至13h之間（不包含12h至13h），這段水流速度為3km/h,輪船在靜水里的往返速度v（v＞3）不變
（1）求v的取值范圍；
（2）若v是質(zhì)數(shù)（大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除）求v的值．發(fā)布：2024/12/5 8:0:1組卷：178引用：1難度：0.1 -
2．已知a為整數(shù)，|4a2-12a-27|是質(zhì)數(shù)，求a的值．
發(fā)布：2024/12/23 8:0:2組卷：27引用：0難度：0.7 -
3．對(duì)于正整數(shù)a,如果存在正整數(shù)b,c使得a=bc,則稱b,c為a的約數(shù)．比如36=4×9，所以4和9是36的約數(shù)．為了找出36的所有約數(shù)，我們可以把36繼續(xù)分解，即36=2×2×3×3，進(jìn)一步寫成36=22×32，所以36的約數(shù)就可以表示成2α?3β的形式，其中α可取0、1、2，β可取0、1、2；這樣我們就很快地得出36共有9（9=3×3）個(gè)約數(shù)，分別為1、3、9、2、6、18、4、12、36．以上方法我們稱之為是對(duì)36進(jìn)行“分解質(zhì)因數(shù)”．其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意正整數(shù)m都可以對(duì)其進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)，即m=P1
P2α1…Pnα2，其中P1，P2，…，Pn是互不相等的質(zhì)數(shù)，那么m的所有約數(shù)n就可表示為n=p1αnp2β1…pnβ2（0≤β1≤α1，0≤β2≤α2，…0≤βn≤αn且β1，β2…，βn都是整數(shù)），進(jìn)而不難得出m共有（a1+1）（a2+1）…（an+1）個(gè)約數(shù)．特別的，如果m=n2k（n是正整數(shù)，k為自然數(shù)），則稱m為完全平方數(shù)．βn
（1）根據(jù)以上閱讀材料，求出3000共有多少個(gè)約數(shù)？
（2）請(qǐng)說(shuō)明對(duì)任意的一個(gè)完全平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)．發(fā)布：2024/11/19 8:0:1組卷：120引用：1難度：0.3
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