當前位置： 2014年4月全國100所名校單元測試示范卷數學（十）等差數列與等比數列（文科）> 試題詳情

已知函數f（x）=（x+1）²，f′（x）是函數f（x）的導函數，設a₁=0，a_n=a_n+1+
f
（
a
n
）
f
′
（
a
n
）
．
（1）證明：數列{a_n+1}是等比數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=na_n+n,求數列{b_n}的前n項和S_n．

【考點】數列與函數的綜合；等比數列的性質；等比數列的通項公式；數列的求和．

【答案】見試題解答內容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：96引用：2難度：0.5

相似題

1．先閱讀參考材料，再解決此問題：
參考材料：求拋物線弧y=x²（0≤x≤2）與x軸及直線x=2圍成的封閉圖形的面積
解：把區(qū)間[0，2]進行n等分，得n-1個分點A（
2
i
n
，0）（i=1，2，3，…，n-1），過分點A_i，作x軸的垂線，交拋物線于B_i，并如圖構造n-1個矩形，先求出n-1個矩形的面積和S_n-1，再求
lim
n
→∞
S_n-1，即是封閉圖形的面積，又每個矩形的寬為
2
n
，第i個矩形的高為（
2
i
n
）²，所以第i個矩形的面積為
2
n
?（
2
i
n
）²；
S_n-1=
2
n
[
4
?
1
2
n
2
+
4
?
2
2
n
2
+
4
?
3
2
n
2
+…+
4
?
（
n
-
1
）
2
n
2
]=
8
n
3
[1²+2²+3²+…+（n-1）²]=
8
n
3
?
n
（
n
-
1
）
（
2
n
-
1
）
6

所以封閉圖形的面積為
lim
n
→∞
8
n
3
?
n
（
n
-
1
）
（
2
n
-
1
）
6
=
8
3

閱讀以上材料，并解決此問題：已知對任意大于4的正整數n,不等式
1
-
1
2
n
2
+
1
-
2
2
n
2
+
1
-
3
2
n
2
+…+
1
-
（
n
-
1
）
2
n
2
＜an恒成立，則實數a的取值范圍為
．
發(fā)布：2024/12/29 7:0:1組卷：70引用：2難度：0.5
解析
2．已知一組2n（n∈N^*）個數據：a₁，a₂，…，a_2n，滿足：a₁≤a₂≤…≤a_2n，平均值為M，中位數為N，方差為s²，則（　?。?/h2>
A．a_n≤M≤a_n+1
B．a_n≤N≤a_n+1
C．函數
f
（
x
）
=
2
n
∑
i
=
1
（
x
-
a
i
）
2
的最小值為2ns²
D．若a₁，a₂，…，a_2n成等差數列，則M=N
發(fā)布：2024/12/29 7:30:2組卷：54難度：0.5
解析
3．已知公比為q的正項等比數列{a_n}，其首項a₁＞1，前n項和為S_n，前n項積為T_n，且函數f（x）=x（x+a₁）（x+a₂）?（x+a₉）在點（0，0）處切線斜率為1，則（　　）
A．數列{a_n}單調遞增 B．數列{lga_n}單調遞減
C．n=4或5時，T_n取值最大 D．
S
n
＜
1
q
4
（
1
-
q
）
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：30引用：3難度：0.5
解析

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A．數列{a_n}單調遞增	B．數列{lga_n}單調遞減
C．n=4或5時，T_n取值最大	D． S n ＜ 1 q 4 （ 1 - q ）

已知函數f（x）=（x+1）2，f′（x）是函數f（x）的導函數，設a1=0，an=an+1+f（an）f′（an）．（1）證明：數列{an+1}是等比數列，并求出數列{an}的通項公式；（2）令bn=nan+n,求數列{bn}的前n項和Sn．

2．已知一組2n（n∈N*）個數據：a1，a2，…，a2n，滿足：a1≤a2≤…≤a2n，平均值為M，中位數為N，方差為s2，則（ ?。?/h2>

3．已知公比為q的正項等比數列{an}，其首項a1＞1，前n項和為Sn，前n項積為Tn，且函數f（x）=x（x+a1）（x+a2）?（x+a9）在點（0，0）處切線斜率為1，則（ ）

已知函數f（x）=（x+1）²，f′（x）是函數f（x）的導函數，設a₁=0，a_n=a_n+1+
f
（
a
n
）
f
′
（
a
n
）
．
（1）證明：數列{a_n+1}是等比數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=na_n+n,求數列{b_n}的前n項和S_n．

2．已知一組2n（n∈N^*）個數據：a₁，a₂，…，a_2n，滿足：a₁≤a₂≤…≤a_2n，平均值為M，中位數為N，方差為s²，則（　?。?/h2>

3．已知公比為q的正項等比數列{a_n}，其首項a₁＞1，前n項和為S_n，前n項積為T_n，且函數f（x）=x（x+a₁）（x+a₂）?（x+a₉）在點（0，0）處切線斜率為1，則（　　）